Hola, manooooh, buenos días.
Pues no sé, voy a pensar sobre la marcha....
Tenemos para el neutro del producto
\( a*a^{-1}=e
\)
\( a*e=a
\)
Sustituyendo
\( (a*e)*e=a
\)
Volviendo a sustiuir recurrentemente
\( ((a*e)*e)*e=a
\)
etc.
Por la asociativa
\( a*e*e...=a
\)
entonces
\( \forall n\in\mathbb{N}:\, a*e^{n}=a
\)
y de ahí
\( e^{n}=e
\)
Para la operación suma, siendo “u” el neutro y el singo “+”, tenemos
\( a+u=a
\), donde “u” también cumple para el producto \( u*e=u
\).
También se da que \( u+u+u...=u
\), es decir \( nu=u
\).
Si ahora suponemos que se pudiera hacer \( uu^{-1}=e
\), entonces podríamos sustituir así
\( nuu^{1}=uu^{-1}\Rightarrow n=e
\) y por lo anterior \( n=e^{n}
\) , de donde cualquier “n” sería neutro para el producto y la potenciación, resultando absurdo, porque el neutro es único.
De aquí se concluye que tiene que ser \( u\neq e
\).
Y si \( a=u
\) no puede existir la inversa porque precisamente
\( a*a^{-1}=ua^{-1}\Rightarrow
\)
\( e=ua^{-1}\Rightarrow e=u
\).
Ésa es la cuestión.
Para un producto de matrices tienes que el producto de sus determinantes por separado es igual al determinante del producto asociándolo, o sea \( |A*B|=|A|*|B|
\).
O sea, \( A*A^{-1}=I
\) sólo existe si \( |A*A^{-1}|=|A|*|A^{-1}|=1
\), pero si el determinate de A es cero es imposible que dé uno, da cero, luego no existe la inversa.
Una matriz de determinante cero, supongamos la “A”, hace de “u” en la propiedad que va relacionada, \( |A|*|B|
\), de tal forma que estamos en un caso similar, da cero.
La cuestión es que siempre pensamos en cero, y no en “u” o “e” o la letras que sean para los dos neutros; y eso parece que nos impide ver el aspecto en general, porque cero es un escalar. Pero con amplitud de miras, una matriz de determinante cero es como un neutro en cierto sentido. Cierto es que hay una diferencia importante, porque una matriz de determinante cero puede ser la matriz que tiene todos sus elementos cero (el verdadero neutro para la suma de matrices) u otras que no. Esto no pasa con los escalares; y así no se puede generalizar como si una cosa fuera exactamente lo mismo que la otra, es imposible; pero sí que se puede generalizar hasta cierto punto, dejando las cosas con letras (cuyo significado es más elástico) y no “viendo” simples unos y ceros en los neutros, si no comprendiendo que hay elementos que en determinado momento hacen la “función” de éste o el otro neutro, sin preocuparnos entra en si son o no los neutros de “verdad”; simplemente a tendiendo a como funcionan.
Saludos.
