[micabua]

Hola,

El otro día leí que, en general, la convergencia de \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) no es necesaria ni suficiente para la convergencia de \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) \). ¿Podríais darme algún ejemplo? Se entiende la convergencia del producto infinito como que la sucesión de los productos parciales tiende a un valor no nulo o si alguno de sus factores es 0.

Yo sé que si \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \) converge \( \longrightarrow \) \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+|a_n|) \) converge \( \longrightarrow \) \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) \) converge. Luego necesitaría una sucesión que sea convergente pero no absolutamente convergente, pero no se me ocurre ninguna.

Un saludo y gracias.

[Masacroso]

Fíjate que \( \sum_{n\ge 1}\frac{-1}n=-\infty \) y sin embargo \( \prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{-1}n\right)=0 \) ya que \( 1-\frac11=0 \). No sé si te refieres a algo así.

Y en general te basta cualquier sucesión donde existe un \( a_m=-1 \), entonces \( \prod_{n=1}^\infty\left(1+a_n\right)=0 \).

[Luis Fuentes]

Hola

 Mira por aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/129487/find-a-sequence-a-n-of-real-numbers-such-that-sum-a-n-converges-but-p

https://math.stackexchange.com/questions/1284641/let-a-2n-1-1-sqrtn-for-n-1-2-dots-show-that-prod-1a-n-converges?rq=1

Saludos.

[micabua]

Fíjate que \( \sum_{n\ge 1}\frac{-1}n=-\infty \) y sin embargo \( \prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{-1}n\right)=0 \) ya que \( 1-\frac11=0 \). No sé si te refieres a algo así.

Y en general te basta cualquier sucesión donde existe un \( a_m=-1 \), entonces \( \prod_{n=1}^\infty\left(1+a_n\right)=0 \).

Sí, esto está claro, pero me refería a quitando la convergencia del 0. ¡Muchas gracias igualmente!

Hola,

El otro día leí que, en general, la convergencia de \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) no es necesaria ni suficiente para la convergencia de \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) \). ¿Podríais darme algún ejemplo? Se entiende la convergencia del producto infinito como que la sucesión de los productos parciales tiende a un valor no nulo o si alguno de sus factores es 0.

Yo sé que si \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \) converge \( \longrightarrow \) \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+|a_n|) \) converge \( \longrightarrow \) \( \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) \) converge. Luego necesitaría una sucesión que sea convergente pero no absolutamente convergente, pero no se me ocurre ninguna.

Un saludo y gracias.

Vale, esto es genial, ¡gracias!