[Atilea]

Buenas Tardes
Vuelvo a publicar el ejercicio, ya que aun no puedo realizarlo
1. Sea [texx] H [/texx]un semi-anillo sobre [texx] \Omega [/texx] y sea [texx] \mu:H \rightarrow [0,+\infty] [/texx] finitamente aditiva y sea [texx]\mu^* [/texx] la unica funcion de conjuntos(finitamente) aditiva [texx]\mu^*:\varrho(H)\rightarrow[0,+\infty] [/texx] con [texx]\mu^*(A)=\mu(A), \forall  A \in H  [/texx]. Si [texx]\mu[/texx] finita, entonces [texx]\mu^*[/texx] también lo es.

Aclaro que [texx]\varrho(H) [/texx] es anillo generado por los [texx] H [/texx]

[Masacroso]

Buenas Tardes
Vuelvo a publicar el ejercicio, ya que aun no puedo realizarlo
1. Sea [texx] H [/texx]un semi-anillo sobre [texx] \Omega [/texx] y sea [texx] \mu:H \rightarrow [0,+\infty] [/texx] finitamente aditiva y sea [texx]\mu^* [/texx] la unica funcion de conjuntos(finitamente) aditiva [texx]\mu^*:\varrho(H)\rightarrow[0,+\infty] [/texx] con [texx]\mu^*(A)=\mu(A), \forall  A \in H  [/texx]. Si [texx]\mu[/texx] finita, entonces [texx]\mu^*[/texx] también lo es.

Aclaro que [texx]\varrho(H) [/texx] es anillo generado por los [texx] H [/texx]

Si entiendo bien, ¿el ejercicio va de demostrar que \( \mu^* \) es (finitamente) aditiva cuando \( \mu \) lo es? Pero eso ya se asume por definición de \( \mu^* \), es decir, que es (finitamente) aditiva.

Si no es eso entonces, ¿qué quiere decir exactamente la expresión "\( \mu \) es finita"? En general se entiende que una medida o premedida es finita cuando \( \mu(\Omega)<\infty \), pero ocurre que \( \Omega \) no necesariamente pertenece a \( H \) ni a \( \varrho(H) \), a no ser que la definición de semi-anillo que estés usando asuma que \( \Omega\in H \).

Hay que aclarar esas cuestiones para poder desarrollar el "ejercicio".

[geómetracat]

Si no me equivoco, en el contexto de medidas en anillos o semianillos, se dice que una medida \( \mu \) es finita si \( \mu(E) < \infty \) para todo conjunto \( E \) del anillo (o del semianillo). Por ejemplo, el libro de Halmos lo define así.

En ese caso, el resultado se sigue de manera inmediata del hecho que los elementos del anillo generado por el semianillo \( H \) se pueden expresar como unión finita disjunta de elementos de \( H \) usando la aditividad finita de la medida.