[castrokin]

Buenas Chicos me gustaría que me pudieran ayudar con un ejercicio de sucesiones que me ha dado muchos dolores de cabeza

Se me pide:

La Sucesión \( \left\{{a_n}\right\} \)\( \left\{{-1,-\displaystyle\frac{1}{2},-\displaystyle\frac{1}{4},-\displaystyle\frac{1}{8}}\right\} \) Si \( \left\{{S_n}\right\} \) es la sucesión de sumas parciales de \( \left\{{a_n}\right\} \) calcular

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{S_n} \)

Muchas gracias a todos de antemano esperando su pronta repuesta.

[delmar]

Hola

La sucesión se puede expresar de esta forma : \( a_k=(-1) \ (\displaystyle\frac{1}{2})^k, \ k=0,1,2,.. \), se puede verificar. La serie asociada a esta sucesión, es \( S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{a_k}, \ k=0,1,2,.. \) y se la puede poner de esta manera : \( S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{(-1) \ (\displaystyle\frac{1}{2})^k}=(-1)\displaystyle\sum_{k=0}^n{(\displaystyle\frac{1}{2})^k}=(-1)T_n \), donde \( T_n \) es una serie geométrica \( T_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{x^k} \)  con \( x=\displaystyle\frac{1}{2} \), por ser \( \left |{x}\right |<1 \) converge al número \( \displaystyle\frac{1}{1-x} \), en consecuencia :

\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{T_n}=\displaystyle\frac{1}{1-0.5} \), ahora ¿que se puede decir del \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{S_n} \)?


Saludos