Autor Tema: Promedios: Media aritmética y media geométrica.

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04 Junio, 2019, 04:18 pm
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Francois

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Pregunta
Sabiendo que la media aritmética y media geométrica de \( a \) y \( b \) son dos números consecutivos.
Hallar\(  (\sqrt[4 ]{a}-\sqrt[4 ]{b})(\sqrt[4 ]{a}+\sqrt[4 ]{b}) \)

Consulta
Del dato\(  \displaystyle\frac{a+b}{2}-\sqrt[ ]{ab}=1 \)
Lo que hice fue tantear y dar con los valores \( a=2 \) y \( b=0 \)( En verdad no lo hice, fue Wolfram jeje)

Pero habrá otra forma? o este problema me obliga al tantear valores?
Gracias.

04 Junio, 2019, 05:19 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Pregunta
Sabiendo que la media aritmética y media geométrica de \( a \) y \( b \) son dos números consecutivos.
Hallar\(  (\sqrt[4 ]{a}-\sqrt[4 ]{b})(\sqrt[4 ]{a}+\sqrt[4 ]{b}) \)

Consulta
Del dato\(  \displaystyle\frac{a+b}{2}-\sqrt[ ]{ab}=1 \)
Lo que hice fue tantear y dar con los valores \( a=2 \) y \( b=0 \)( En verdad no lo hice, fue Wolfram jeje)

Pero habrá otra forma? o este problema me obliga al tantear valores?
Gracias.

Basta con completar cuadrados, es decir, fíjate que

\( \displaystyle \frac{a+b}2-\sqrt{ab}=1\iff a-2\sqrt{ab}+b=2\iff (\sqrt a-\sqrt b)^2=2\iff|\sqrt a-\sqrt b|=\sqrt 2 \)

Y por último observa que \( \sqrt a-\sqrt b=(\sqrt[4]a-\sqrt[4]b)(\sqrt[4]a+\sqrt[4]b) \).

Hay muchas más soluciones que \( a=2 \) y \( b=0 \), por ejemplo para cualquier \( a\ge 2 \) podemos tomar \( b=(\sqrt a-\sqrt 2)^2 \), entonces el par \( a,b \) es una solución.