Usa el teorema de descomposición de Hahn. Si \( X \) es el espacio total de la \( \sigma \)-álgebra, tienes que existen dos subconjuntos disjuntos \( P,N \subseteq X \) tales que \( X = P \cup N \), y dos medidas (no negativas) \( \nu^+,\nu^- \) con \( \nu^+(E) =0 \) si \( E \subseteq N \), \( \nu^-(E) =0 \) si \( E \subseteq P \) y \( \nu = \nu^+ - \nu^- \).
Si \( E \subseteq P \), entonces \( 0 \geq \nu(E) = \nu^+(E) = \varphi(E) - \psi(E) \), de donde se sigue que \( \varphi(E) \geq \nu^+(E) \). Te dejo que pienses el caso de un \( E \subseteq X \) general, de donde se sigue que \( \varphi \geq \nu^+ \). Igualmente te dejo que pienses la demostración de \( \nu^- \leq \psi \), aunque es esencialmente lo mismo.
Para el último apartado, entiendo que \( \varphi \wedge \psi =0 \) quiere decir que existen \( A,B \subseteq X \) disjuntos con \( X = A \cup B \), tales que \( \varphi \) es cero en \( A \) y \( \psi \) es cero en \( B \).
Si \( E \subseteq X \) es tal que \( \nu(E) > 0 \),
como \( 0 < \nu(E) = \nu^+(E) = \varphi(E) - \psi(E) \), tienes que necesariamente \( \varphi(E) >0 \), pero entonces usando la hipótesis \( \varphi \wedge \psi = 0 \), tienes que \( \psi(E)=0 \) y por tanto \( \nu^+(E) = \varphi(E) \). Intenta acabar tú la demostración usando estas ideas.
