Hola
En realidad no entiendo mucho la definición.
No se si tiene mucho que entender...
1. Una funcion de conjuntos [texx] \mu:C\rightarrow [0, + \infty] [/texx] se llama modular, cuando [texx] \forall A,B \in C [/texx] con [texx] A\cup B \in C , A\cap B \in C [/texx] se cumple que:
[texx] \mu(A\cup B) + \mu(A\cap B)= \mu(A) + \mu(B) [/texx]
Demuestre que cada función de conjuntos Aditiva sobre un semi-anillo es modular, y que cada función de conjuntos modular sobre un anillo es aditiva.
Tienes una familia de conjuntos \( C \) y una función definida sobre ella. Te dicen que es modular si siempre que tengas un par de conjuntos \( A,B \) de la familia de manera que su unión e intersección también pertenece a esa familia (y por tanto también puedes evaluar la función en ellas) se cumple:
[texx] \mu(A\cup B) + \mu(A\cap B)= \mu(A) + \mu(B) [/texx]
Fíjate que es una propiedad razonable para una buena medida: que la medida de la unión sea la suma de medidas menos la medida de la intersección.
Entonces si la función es aditiva significa que para
conjuntos disjuntos \( X,Y \) se tiene que:
\( \mu(X\cup Y)=\mu(X)\cup \mu(Y) \)
Ahora si \( A,B,A\cup B,A\cap B\in C \) in \( C \) con \( C \) semianillo de conjunto se tiene que:
\( A\setminus B=A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n \) con los \( A_i\in C \) disjuntos dos a dos
\( B\setminus A=B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_m \) con los \( B_i\in C \) disjuntos dos a dos
Entonces:
\( A=(A\cap B)\cup A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n \) (unión disjunta)
\( B=(A\cap B)\cup B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_m \) (unión disjunta)
\( A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cap B)\cup A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n\cup B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_m \) (unión disjunta)
Por ser aditiva:
\( \mu(A)=\mu(A\cap B)+\mu(A_1)+\ldots+\mu(A_n) \)
\( \mu(B)=\mu(A\cap B)+\mu(B_1)+\ldots+\mu(B_m) \)
\( \mu(A\cup B)=\mu(A\cap B)+\mu(A_1)+\ldots+\mu(A_n)+\mu(B_1)+\ldots+\mu(B_m) \)
Concluye.
Saludos.
