Autor Tema: Derivación débil de una función

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01 Junio, 2019, 05:26 pm
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MariaOrgaz

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Buenas,
estoy dándole vueltas al siguiente ejercicio, por si pueden echarme una mano:

Tengo la siguiente función real de variable real \( f(x)=\ln(|x|) \).
¿Está en \( L^2(0,1) \)? ¿Está en \( L^2(0,\infty) \)? ¿Está en \( H^1(0,1) \)?

Para ver que pertenece a \( L^2(0,1) \) debo comprobar que

\( \displaystyle\int_{0}^{1}|\ln(|x|)|^2dx<\infty \) Sé que esta afirmación es verdadera pero no qué cota sería la correcta.

Al igual que para \( L^2(0,\infty) \). En este caso, como el rango de la función es \( \mathbb{R} \) intuyo que la respuesta es que no pertenece a dicho espacio, pero igualmente no sé cómo justificarlo correctamente.

Por último, para ver si está en \( H^1(0,1) \) calcularé, si existe, la derivada débil de primer orden respecto de x y de nuevo comprobaré si la deribada pertenece a \( L^2(0,1) \).

Agradezco mucho la ayuda,

Un saludo.

01 Junio, 2019, 08:06 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Buenas,
estoy dándole vueltas al siguiente ejercicio, por si pueden echarme una mano:

Tengo la siguiente función real de variable real \( f(x)=ln(|x|) \).
¿Está en \( L^2(0,1) \)? ¿Está en \( L^2(0,\infty) \)? ¿Está en \( H^1(0,1) \)?

Para ver que pertenece a \( L^2(0,1) \) debo comprobar que

\( \displaystyle\int_{0}^{1}|ln(|x|)|^2dx<\infty \) Sé que esta afirmación es verdadera pero no qué cota sería la correcta.

Al igual que para \( L^2(0,\infty) \). En este caso, como el rango de la función es \( \mathbb{R} \) intuyo que la respuesta es que no pertenece a dicho espacio, pero igualmente no sé cómo justificarlo correctamente.

Por último, para ver si está en \( H^1(0,1) \) calcularé, si existe, la derivada débil de primer orden respecto de x y de nuevo comprobaré si la deribada pertenece a \( L^2(0,1) \).

Agradezco mucho la ayuda,

Un saludo.

Tenemos que \( \int_0^1\ln^2 x\, dx=x\ln x^2\big|_0^1-2\int_0^1\ln x\, dx \), y por otro lado resolviendo nos queda que \( \int_0^1\ln x\, dx=x\ln x\big|_0^1-\int_0^1\, dx=-1 \).

Para ver que \( \int_0^\infty \ln^2 |x|\, dx=\infty \) es suficiente con ver que \( \int_0^1\ln^2|x|\, dx=2 \) y \( \int_1^\infty\ln^2|x|\, dx=\infty \), ya que el integrando es estrictamente creciente y positivo.

No sé qué espacio es el \( H^1 \), ¿es el espacio de funciones localmente integrables? En cualquier caso la derivada débil siempre coincide con la derivada estándar cuando ésta existe. En este caso la función \( \ln|x| \) es diferenciable en \( \Bbb R\setminus\{0\} \), y ya que estás en \( (0,1) \) no es necesario usar funciones test para verificar si existe tal derivada débil ya que la función ya es diferenciable en ese intervalo.

01 Junio, 2019, 08:16 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Buenas,
estoy dándole vueltas al siguiente ejercicio, por si pueden echarme una mano:

Tengo la siguiente función real de variable real \( f(x)=ln(|x|) \).
¿Está en \( L^2(0,1) \)? ¿Está en \( L^2(0,\infty) \)? ¿Está en \( H^1(0,1) \)?

Para ver que pertenece a \( L^2(0,1) \) debo comprobar que

\( \displaystyle\int_{0}^{1}|ln(|x|)|^2dx<\infty \) Sé que esta afirmación es verdadera pero no qué cota sería la correcta.

Al igual que para \( L^2(0,\infty) \). En este caso, como el rango de la función es \( \mathbb{R} \) intuyo que la respuesta es que no pertenece a dicho espacio, pero igualmente no sé cómo justificarlo correctamente.

Realmente puedes hallar explíctamente una primitiva:

\( \displaystyle\int ln^2(x)dx=x(ln^2(x)-2xln(x)+2)+cte \)

Para llegar a ella integra por partes tomando \( u=ln^2(x) \) y \( dv=dx \).

Saludos.

P.D. Mientras escribía esto se adelantó Masacroso.

01 Junio, 2019, 08:50 pm
Respuesta #3

MariaOrgaz

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Tenemos que \( \int_0^1\ln^2 x\, dx=x\ln x^2\big|_0^1-2\int_0^1\ln x\, dx \), y por otro lado resolviendo nos queda que \( \int_0^1\ln x\, dx=x\ln x\big|_0^1-\int_0^1\, dx=-1 \).

Para ver que \( \int_0^\infty \ln^2 |x|\, dx=ºinfty \) es suficiente con ver que \( \int_0^1\ln^2|x|\, dx=2 \) y \( \int_1^\infty\ln^2|x|\, dx=\infty \), ya que el integrando es estrictamente creciente y positivo.

No sé qué espacio es el \( H^1 \), ¿es el espacio de funciones localmente integrables? En cualquier caso la derivada débil siempre coincide con la derivada estándar cuando ésta existe. En este caso la función \( \ln|x| \) es diferenciable en \( \Bbb R\setminus\{0\} \), y ya que estás en \( (0,1) \) no es necesario usar funciones test para verificar si existe tal derivada débil ya que la función ya es diferenciable en ese intervalo.

\( \displaystyle
[/quote]

El espacio  [tex]H^1 \) se corresponde con el espacio de Sobolev para derivadas de primer orden que pertenezcan a \( L^2(0,1) \), que sí compruebo fácilmente que es cierto.

Muchas gracias a ambos por vuestras respuestas, me han sido de gran ayuda.