[remance]

Buenas, estoy empezando con tensores y hay algun concepto respecto al producto tensorial que no me queda muy claro.
Se que una aplicación lineal f se puede expresar en funcion de una base \( B=u_1,...,u_n \) como un tensor, de la forma \( f\equiv{\displaystyle\sum_{i=1}^n{}u_i^*}\otimes{}f(u_i) \)
Y se tambien aplicar un vector

Pero cuando tengo dos flrmas lineales \( f_1, f_2 \) no se muy bien como funciona el producto tensorial entre ellos \( f_1\otimes{}f_2 \) porque lo tengo en los apuntes pero no lo acabo de entender.
Si alguien me puede ayudar y sabe como se realiza este producto en la práctica y si lo que se obtiene al hacerlo es otro tensor.
Muchas gracias!

[geómetracat]

Si \( E \) es un espacio vectorial y \( f_1,f_2 \in E^* \) son formas lineales, tienes que \( f_1 \otimes f_2 \in E^* \otimes E^* \). Fíjate que es exactamente lo mismo que hacer el producto tensorial de dos vectores, ya que \( E^* \) es un espacio vectorial tan bueno como cualquier otro.

Si quieres expresarlo en términos de la base dual a una base de \( E \) puedes hacerlo como sigue . Supondré que \( E \) es de dimensión finita y que una base es \( \{u_1, \dots, u_n \} \). Entonces puedes escribir:
\( \displaystyle f_1 = \sum_{i=1}^n f_1(u_i)u_i^* \)
y similarmente con \( f_2 \).
Usando la multilinearidad del producto tensorial tienes que:
\( \displaystyle f_1 \otimes f_2 =\left( \sum_{i=1}^n f_1(u_i)u_i^*\right) \otimes \left(\sum_{j=1}^n f_1(u_j)u_j^*\right) = \sum_{i,j=1}^n f_1(u_i)f_2(u_j) u_i^* \otimes u_j^*   \).