[Atilea]

Hola.
Les quiero pedir ayuda para estos 2 ejercicios.
1. Hiperplano: Un conjunto [texx] H \subseteq \mathbb{R^n} [/texx] se llama hiperplano de [texx] \mathbb{R^n} [/texx] , si existe un sub-espacio [texx] E \subseteq \mathbb{R^n} [/texx] y un vector  [texx] \vec{D} \in \mathbb{R^n} [/texx] con dim [texx] (E) \leq n-1 [/texx] y  [texx] H=\vec{D} + E [/texx] . Para cada hiperplano  [texx] H \subseteq \mathbb{R^n} [/texx]  se cumple [texx] \lambda^n (H)=0 [/texx].

2. Completación: Sea [texx] H \subseteq 2^\Omega [/texx] un semi-anillo y sea [texx] \mu:H  \rightarrow [0,+\infty] [/texx] una medida [texx] \sigma[/texx]-Finita. Sea ahora [texx] F_0 \subseteq 2^\Omega [/texx] una  [texx] \sigma[/texx]-algebra  con [texx] H \subseteq F_0 [/texx]  y sea [texx] \mu_0: F_0  \rightarrow [0,+\infty] [/texx] una medida completa con [texx]\{\mu_0 |_H=\mu \}[/texx] entonces se cumple que [texx] F(\mu^*) \subseteq F_0[/texx] y
[texx]\{\mu_0 |_{F(\mu^*)}\}[/texx]=[texx]\{\mu^* |_{F(\mu^*)}\}[/texx]
No pude cerrar los corchetes en la ultima igualdad, pero espero que se entienda.

[geómetracat]

Deberías poner más contexto y explicar la notación en tu pregunta.
En 1, ¿quién es \( \lambda^n \), la medida de Lebesgue en \( \Bbb R^n \)?
Si es así, basta ver que para cada \( \epsilon>0 \) existe un recubrimiento por cubos del hiperplano cuyo volumen total es menor que \( \epsilon \). Usando que la medida de Lebesgue es invariante bajo traslaciones y rotaciones basta considerar únicamente el caso en que el hiperplano es \( x_n=0 \).

Por ejemplo, para \( n=2 \) puedes tomar los cubos \( I_n = [n,n+1] \times [-\epsilon/2^{|n|+3},\epsilon/2^{|n|+3}]  \) para \( n \in \Bbb Z \). El volumen total es:
\( \displaystyle \sum_{n \in \Bbb Z} \epsilon/2^{|n|+2} = \epsilon/4 + 2 \sum_{n=1}^\infty \epsilon/2^{n+2} = \epsilon/4 + \epsilon/2 < \epsilon \).
Puedes generalizarlo fácilmente para \( n \) arbitrario.

El 2 no lo entiendo. ¿Quién es \( F \)? ¿Qué es \( F(\mu^*) \)?