Hola
Hola, traigo estoe que no he podido realizar
1. Sea [texx] ( \Omega , F) [/texx] un espacio medible y sea [texx] \mu : F \rightarrow [0, +\infty] [/texx] una medida [texx] \sigma [/texx]-finita . Sea [texx]\left \{A_i\right\}_{i \in I} \subseteq F [/texx] una familia disjunta con [texx] \mu(A_i)> 0 \forall i \in I [/texx]. Entonces I es contable.
Si es sigma finita entonces:
\( F=\displaystyle\bigcup_{n\in \mathbb{N}} F_n\qquad\qquad \mu(F_n)<+\infty \)
Sea \( I_n=\{i\in I|\mu(A_i\cap F_n)>0\} \). Comprueba que \( \displaystyle\bigcup_{n\in \mathbb{N}} I_n=I \).
Spoiler
Si algún \( i\in I \) cumpliese que \( i\not\in I_n \) para todo \( n \) entonces \( \mu(A_i\cap F_n)=0 \) para todo \( n \) y entonces \( \mu(A_i)=0 \).
Entonces basta probar que cada \( I_n \) es contable, ya que la unión numerable de contables es contable.
Fijemos un \( n \). Para cada \( i\in I_n \) sea \( B_i=A_i\cap F_n \). Se tiene que \( \mu(B_i)>0 \) y los \( \{B_i\}_{i\in I_n} \) son una familia de conjuntos disjuntos por serlo los \( \{A_i\}. \)
Sea \( J_k=\{i\in I_n|\mu(B_i)>1/k\} \). Dado que los \( B_i \) son disjuntos, \( J_k \) tiene que ser finito. En otro caso habría infinitos conjuntos disjuntos en \( F_n \) de medida \( >1/k \), pero entonces \( \mu(F_n)=+\infty \), lo cuál no es cierto.
Finalmente \( I_n=\displaystyle\bigcup_{k\in \mathbb{N}} J_k \) que es numerable por ser unión numerable de conjuntos finitos.
Saludos.
P.D. Si hay algo que no entiendes pregunta detallando al máximo tus dudas.
