Buenas, me ha surgido una duda en un ejercicio de afinidades ya que llego a una contradicción, he probado de intentar varios caminos y nada, si alguien me puede ayudar lo agradezco.
Dada la afinidad \( T(X)=P+AX=\left[\begin{array}{cc}{1}\\{0}\end{array}\right]+\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{a}\end{bmatrix}\left[\begin{array}{cc}{x}\\{y}\end{array}\right] \) donde \( a\neq{1} \)
Demostrar que no tiene puntos fijos y solo tiene una recta invariante.
Demostrar que no tiene puntos fijos es fácil, tan simple como decir que A tiene valor propio (1)
Voy a mostrar el razonamiento que he seguido:
LLamamos a la recta \( R=Q+\left<{v}\right> \)
Se tienen que dar dos condiciones para que la recta sea invariante a la afinidad:
1) \( T(\left<{v}\right>)=\left<{v}\right>=Av=k\cdot{v} \)
Podemos ver que v ha de ser vector propio de A para que esto se cumpla, VAPS, 1,a, VEPS, (1,0),(0,1)
2)\( T(Q)=H \longrightarrow{}\vec{QH}=\left<{v}\right>=k\cdot{v} \)
Tenemos:\( T(Q)=P+AQ=\left[\begin{array}{cc}{1}\\{0}\end{array}\right]+\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{a}\end{bmatrix}\left[\begin{array}{cc}{x}\\{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{1+x}\\{ay}\end{array}\right] \)
\( \vec{T(Q)Q}=\left[\begin{array}{cc}{ -1}\\{y-ya}\end{array}\right]=kv=k\left[\begin{array}{cc}{u}\\{v}\end{array}\right] \)
Y aqui llego a la contradicción ya que con la condición dada \( a\neq{1} \) tengo estos sistemas... probando con los posibles vectores directores calculados antes (1,0) y (0,1)
\( (v=(1,0))\begin{cases} -1=k\\y-ya=0 \end{cases} \)
\( (v=(0,1))\begin{cases} -1=0\\y-ya=k \end{cases} \)
Ambos sistemas incompatibles con la condición dada
Buenas noches y gracias!
