[R_Gauss]

Hola, tengo el siguiente ejercicio que me pide demostrar que es relación de orden en \( \mathbb{N}\times{\mathbb{N}} \). Dice así,

Considere en \( \mathbb{N}\times{\mathbb{N}} \) la relación:
\( (a,b)\leq{(c,d)} \) si y solo si \(  a+d \leq{c+b} \)

¿Cómo puedo demostrar que es de orden, especificamente la antisimetría?
Se me ocurre utilizando clases... ¿O eso solamente se aplica a clases de equivalencia?

Agradezco sus colaboraciones,
Saludos,

[Gustavo]

Hola,

No parece ser antisimétrica. Nota que \( (1,2)\le (2,3) \) y \( (2,3)\le (1,2) \), pero \( (1,2)\neq (2,3) \).

[R_Gauss]

Hola,
Es confuso...

¿Cómo sabes que la pareja \( (2,3)≤(1,2) \)?

Es ejercicio me pide demostrar de una vez que es una relación de orden...

Saludos, 

[Gustavo]

¿Cómo sabes que la pareja \( (2,3)≤(1,2) \)?

Lo sabemos usando la definición de la relación:

Considere en \( \mathbb{N}\times{\mathbb{N}} \) la relación:
\( (a,b)\leq{(c,d)} \) si y solo si \(  a+d \leq{c+b} \)

En este caso \( a=2,b=3,c=1,d=2 \). Tenemos que \( a+d=4 \) y \( b+c=4 \), así que \( a+d\le b+c \), por lo que \( (2,3)\le (1,2) \).

[R_Gauss]

Entonces existe la siguiente afirmación.

Si tengo: \( (a,b),(c,d), (m,n),(r,s)\in{N\times{N}} \) y tengo:

si \( (a,b)\leq{(c,d)} \), \( (m,n)\sim{(a,b)} \) y \( (r,s)\sim{(c,d)} \) ¿cómo podría demostrar que \( (m,n)\leq{(r,s)} \)?

Sabiendo bien que \( \sim{} \) es la relación definida como:

\( (p,q)\sim{(x,y)} \) si y solo si \( p+y=q+x \)

 

[Gustavo]

Debes ver qué significan las hipótesis que te dan y ver qué es lo que quieres mostrar.

Las hipótesis son que \( a+d \le b+c, \quad m+b = n+a, \quad r+d = s+c \).

Lo que quieres mostrar es que \( m+s \le n+r \).

Entonces nota que \( m+s=(n+a-b)+(r+d-c)=n+r+( (a+d)-(b+c) ) \le n+r \).

[R_Gauss]

¿Cómo sabes que la pareja \( (2,3)≤(1,2) \)?

Lo sabemos usando la definición de la relación:

Considere en \( \mathbb{N}\times{\mathbb{N}} \) la relación:
\( (a,b)\leq{(c,d)} \) si y solo si \(  a+d \leq{c+b} \)

En este caso \( a=2,b=3,c=1,d=2 \). Tenemos que \( a+d=4 \) y \( b+c=4 \), así que \( a+d\le b+c \), por lo que \( (2,3)\le (1,2) \).

Al seguir con la relación de orden, ¿se cumple en un solo sentido o en ninguno de los dos? Es decir,
¿\(  a+d \leq{c+b} \) entonces \( (a,b)\leq{(c,d)} \)?

[Gustavo]

Es decir, ¿\(  a+d \leq{c+b} \) entonces \( (a,b)\leq{(c,d)} \)?

Sí, eso es por el "si y sólo si" de la definición.