Hola
En clases de teoría no hemos trabajado con cónicas y afinidades. Por lo que dices el \( 3\cdot{}3 T \) es una afinidad que en cambio de ser de la forma típica: \( T(x)=P+Ax \) es de la forma \( T(x)=x^tAx \)
Por lo que has dicho he entendido que no puedes transformar la cónica directamente, has de encontrar la afinidad T tal que \( (T^{-1})^tAT^{-1} \) cumpla las características que te piden, por lo general diagonalizar.
No me ha quedado muy claro eso, si para encontrar la afinidad que transforme la cónica es de la forma \( x^tAx \) y si para encontrarla hay que hacer \( (T^{-1})^tAT^{-1} \), muchas gracias!
Lo que dice geómetracat, es lo siguiente.
Una transformación afín puede escribirse, si \( (x',y')=T(x,y) \), como:
\( \begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c&d\\e&f\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix} \)
Pero también:
\( \begin{pmatrix}x'\\y'\\1\\\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}c&d&a\\e&f&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}_M\begin{pmatrix}x\\y\\1\\\end{pmatrix} \) (*)
Por otra parte la ecuación de una cónica matricialmente puede escribirse como:
\( \begin{pmatrix}x&y&1\\\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\1\\\end{pmatrix}=0 \) (**)
donde \( A \) es una matriz simétrica \( 3\times 3 \).
Ahora dado un punto transformado \( (x',y')=T(x,y) \) su origen puede obtenerse despejando en (*):
\( \begin{pmatrix}x\\y\\1\\\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\\\end{pmatrix} \)
y para que el punto pertenezca a la cónica tiene que cumplir, usando lo anterior en (**):
\( \begin{pmatrix}x'&y'&1\\\end{pmatrix}(M^{-1})^tAM^{-1}\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\\\end{pmatrix}=0 \)
Luego esta última es la ecuación de la cónica transformada.
En realidad más allá de la representación matricial esto no es nada distinto de lo que se hace al final para aplicar una transformación inversible cualquiera \( (x',y')=g(x,y) \) a un objeto geométrico de ecuación implícita \( F(x,y)=0 \). La ecuación de la transformada es:
\( F(g^{-1}(x',y'))=0 \)
Saludos.
