[R_Gauss]

Hola,
estaba probando que la relación \( \leq{} \) en los enteros, es de orde total; partiendo de la definición de  \( \leq{} \): Dados m,n enteros  \( m\leq{n} \) si y solo si \( (n-m)\in{\mathbb{N}} \).

Demostré la reflexividad, pero la antisimetría se me dificulta desarrollarla:

Si tengo que  \( m\leq{n} \) y  \( n\leq{m} \) entonces\( m=n \)

Parto de la definición, pero no sé cómo justificar que  \( n-m=0 \) para llegar a la conclusión.

Agradezco sus colaboraciones,
Saludos,

[Juan Pablo Sancho]

De \( m \leq n  \) tienes que \(  n-m \in \mathbb{N}  \)
De \( n \leq m  \) tienes que \( m-n = - (n-m) \in \mathbb{N}  \), sea \(  u = n-m  \) tienes:
\( u,-u \in \mathbb{N}  \)

[R_Gauss]

Hola,

gracias por la respuesta

Sin embargo, cuando sumo \( u-u \) da cero. ¿Cómo podría llegar a concluir que \( b-a \) es cero?

Saludos,

[Juan Pablo Sancho]

Suponiendo que \( 0 \in \mathbb{N}  \) en este caso el único elemento que verifica \( n,-n \in \mathbb{N}  \) es el cero.
Sea \(  \mathbb{P}  \) el conjunto de los números enteros positivos, tenemos que dado \( n \in \mathbb{Z}  \) tenemos que :
\(  n = 0 \)
\(  n \in \mathbb{P}  \)
\(  -n \in \mathbb{P}  \)
Con \( \mathbb{P} = \mathbb{N} \setminus \{0\}  \)

[R_Gauss]

Hola,

Al demostrar que la relación \( \leq{} \) es de orden, es decir, es reflexiva, antisimétrica y transitiva. ¿Cómo demuestro que es de Orden Total?
Esto es, que dados \( a,b\in{\mathbb{Z}}  \) se cumple que \( a\leq{b} \) o \( b\leq{a} \)

Saludos,

[Juan Pablo Sancho]

Tenemos que \(  n \in \mathbb{P}  \) o \(  -n \in \mathbb{P}  \),  si \( n \in \mathbb{N}  \)y \(  -n \in \mathbb{N} \) entonces  \( n =    0 \).

[manooooh]

Hola

Al demostrar que la relación \( \leq{} \) es de orden, es decir, es reflexiva, antisimétrica y transitiva. ¿Cómo demuestro que es de Orden Total?
Esto es, que dados \( a,b\in{\mathbb{Z}}  \) se cumple que \( a\leq{b} \) o \( b\leq{a} \)

Pero no es necesariamente así.

Por ejemplo, \( 1\in\Bbb Z \) y \( -2\in\Bbb Z \) y \( -2\leq1 \) pero \( 1\not\leq-2 \).

Como mostró Juan Pablo Sancho sólo un elemento cumple eso:

Tenemos que \(  n \in \mathbb{P}  \) o \(  -n \in \mathbb{P}  \),  si \( n \in \mathbb{N}  \)y \(  -n \in \mathbb{N} \) entonces  \( n =    0 \).

En todo caso será un orden parcial.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Al demostrar que la relación \( \leq{} \) es de orden, es decir, es reflexiva, antisimétrica y transitiva. ¿Cómo demuestro que es de Orden Total?
Esto es, que dados \( a,b\in{\mathbb{Z}}  \) se cumple que \( a\leq{b} \) o \( b\leq{a} \)

Pero no es necesariamente así.

Por ejemplo, \( 1\in\Bbb Z \) y \( -2\in\Bbb Z \) y \( -2\leq1 \) pero \( 1\not\leq-2 \).

¿Cómo que no es así?. El ejemplo que pones no contradice el orden total. Según éste cualquier par de elementos deben de estar relacionados en alguno de los dos sentidos. ¡Y claro qué eso se cumple con la relación de orden usual en los enteros!. Dados dos números uno de los dos siempre es menor o igual que el otro.

En todo caso será un orden parcial.

No. Es un orden total.

Saludos.