[iannuevo]

Hola, estoy trabajando con Sistemas de Ecuaciones Lineales y tengo un ejercicio que no sé como responder, me dan un sistema que resolver mediante algún método iterativo (Gauss Siedel o Jacobi), pero antes tengo que estudiar si converge, y de no hacerlo hacer los cambios adecuados en el sistema.

El sistema es:

\( \begin{cases} 3x-2y+5z &=38 \\ 2x+4y-z &=7 \\ -7x-3y+4z &=5\end{cases} \)

No converge, pues no es diagonalmente dominante, y el problema es que no sé como hacer que converja, no sé como cambiar el sistema para que sea convergente. Intentando permutar tampoco da resultado pues los elementos de la diagonal tienen que ser mayores que los otros elementos de su ecuación, pero en este caso si permuto, tengo un resultado igual a la suma de esos elementos y sigue sin servirme.
Espero que me puedan ayudar diciéndome qué cambio debo hacer en el sistema.

Un saludo y gracias!

[manooooh]

Hola

\( 3x-2y+5z=38 \)
\( 2x+4y-z=7 \)
\( -7x-3y+4z=5 \)

No converge, pues no es diagonalmente dominante, y el problema es que no sé cómo hacer que converja, no sé cómo cambiar el sistema para que sea convergente. (...)

¿Intentaste permutar la 1ra fila por la 3ra?

Recordá que una condición necesaria para que podamos usar Jacobi o Gauss Seidel es que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante, esto es:

\( \displaystyle|a_{ii}|\geq\underset{i\neq j}{\sum_{j=1}^{n}}|a_{ij}|\quad \) para todo \( i,j\in\{1,2,\dots,n\}. \)

Una observación permite ver que si la matriz no es diagonalmente dominante entonces podemos permutar filas para intentar forzar que sea diagonalmente dominante.

En nuestro caso,

\( A=\begin{pmatrix}3&-2&5\\2&4&-1\\-7&-3&4\end{pmatrix}, \)

que no es diagonalmente dominante pues por ejemplo \( |3|=3<\lvert-2\rvert+|5|=7 \), pero si tomamos ahora

\( A'=\begin{pmatrix}-7&-3&4\\2&4&-1\\3&-2&5\end{pmatrix} \)

entonces resulta diagonalmente dominante, pues \( 7\geq3+4=7 \), \( 4\geq2+1=3 \) y \( 5\geq3+2=5 \).

Saludos

[iannuevo]

Hola

\( 3x-2y+5z=38 \)
\( 2x+4y-z=7 \)
\( -7x-3y+4z=5 \)

No converge, pues no es diagonalmente dominante, y el problema es que no sé cómo hacer que converja, no sé cómo cambiar el sistema para que sea convergente. (...)

¿Intentaste permutar la 1ra fila por la 3ra?

Recordá que una condición necesaria para que podamos usar Jacobi o Gauss Seidel es que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante, esto es:

\( \displaystyle|a_{ii}|\geq\underset{i\neq j}{\sum_{j=1}^{n}}|a_{ij}|\quad \) para todo \( i,j\in\{1,2,\dots,n\}. \)

Una observación permite ver que si la matriz no es diagonalmente dominante entonces podemos permutar filas para intentar forzar que sea diagonalmente dominante.

En nuestro caso,

\( A=\begin{pmatrix}3&-2&5\\2&4&-1\\-7&-3&4\end{pmatrix}, \)

que no es diagonalmente dominante pues por ejemplo \( |3|=3<\lvert-2\rvert+|5|=7 \), pero si tomamos ahora

\( A'=\begin{pmatrix}-7&-3&4\\2&4&-1\\3&-2&5\end{pmatrix} \)

entonces resulta diagonalmente dominante, pues \( 7\geq3+4=7 \), \( 4\geq2+1=3 \) y \( 5\geq3+2=5 \).

Saludos

Lo intente hacer, pero según mis apuntes, y la mayoría de lugares donde vi, debe ser mayor a esa suma, no igual. Y justamente al permutar, haciendo las sumas me queda igual al elemento de la diagonal. Creo que el profesor quiere que haga algo mas y justamente puso que las sumas den igual al elemento diagonal como trampa y ver como me la podría rebuscar. Igual, si no hay otra solución posible supongo que será así.

Gracias!

[manooooh]

Hola

Lo intente hacer, pero según mis apuntes, y la mayoría de lugares donde vi, debe ser mayor a esa suma, no igual. Y justamente al permutar, haciendo las sumas me queda igual al elemento de la diagonal. Creo que el profesor quiere que haga algo mas y justamente puso que las sumas den igual al elemento diagonal como trampa y ver como me la podría rebuscar. Igual, si no hay otra solución posible supongo que será así.

Para que sea estrictamente mayor la matriz se debe llamar estrictamente diagonalmente dominante. ¿En los libros dice eso?

Por otro lado, ¿coincidís conmigo en que si la matriz no cumple con la condición de ser estrictamente diagonalmente dominante (o diagonalmente dominante) entonces no podemos aplicar Gauss Seidel?

Intentá hacer Gauss Seidel. Vas a ver que encontrás una sucesión que converge al valor de la solución. Hemos podido aplicar Gauss Seidel. ¿Qué falló? La hipótesis...

Lo que quiero decir es que hemos podido aplicarlo sin importar el elemento es mayor o mayor o igual a la suma de los otros, por tanto podemos considerar una desigualdad en sentido amplio.

Saludos

[feriva]

Hola, ianneuvo.

Algo leí en su día de esto, como del simplex y otras cosas así, pero no las estudié porque no entraban en el programa de lo que estudiaba. Pero, pese a mi malísima memoria, sí tengo memoria para recordar vaguedades y creo que es lo que dice manooooh.

Esa comprobación de las desigualdades diagonal-filas me parece que es una estimación que se hace en primera instancia, no garantiza que no sea convergente; no puede decir nada seguro. Para saberlo había que hallar un autovalor para ver una desigualdad que daba un margen de convergencia. Esto es seguro, algo así había, recuerdo lo del autovalor (sin precisión ninguna, pero lo recuerdo, no lo he soñado).

Por lo dicho, no sé si pudiera ser que esto que dices aquí lo tengas mal entendido

No converge, pues no es diagonalmente dominante

(una cosa sin importancia, hay una sección para métodos numéricos y este tipo de pesadeces, creo que es más apropiada que la de análisis para futuras preguntas, aunque tampoco pasa nada si lo pones en otra).

Saludos.