Autor Tema: Demostrar que es de Equivalencia

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16 Mayo, 2019, 06:03 pm
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AveFenix

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Estaba haciendo ejercicios y me quede en este , prácticamente se lo básico , ya que 2 días nada mas estudie este tema,por ende Estoy perdido ya que empece  hace muy poco.

Si aprendí las "Relaciones de equivalencia", la reflexiva , simétrica y transitiva .

pero siendo honestos aun no se aplicarlo a un ejercicio.

Digamos:

\( Sea T:\mathbb{R}, \)a T b \( \Longleftrightarrow{│a-2│=│b-2│} \)

1- Demuestra que es de Equivalencia

y muchas otras preguntas, pero esas las quiero hacer por mi cuenta, solo necesito que me ayuden a entender esta, para luego traer otros ejercicios y que me digan si lo efectuó adecuadamente.,
Saludos Genios! Como siempre Muchas gracias.



Estudiar Matemáticas se volvió una pasión, que me duele la cabeza ^^.
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16 Mayo, 2019, 06:33 pm
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Veo que estás adentrándote con tópicos de Matemática Discreta, ¡enhorabuena!

Puede serte de utilidad la entrada Relación de equivalencia, conjunto cociente del usuario Fernando Revilla, donde tenés toda la teoría necesaria y muchos ejemplos. Podés practicar de ahí y hacerlo vos mismo.

Te recomiendo especialmente que estudies de ese autor, porque explica de forma amena y tiene toda la teoría correcta y ordenada.

Saludos

16 Mayo, 2019, 06:37 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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Iba a darte el link que propuso manooooh pero él desenfundó antes  :D. Te ayudo a empezar: para todo \( a\in\mathbb{R} \) se verifica \( \left |{a-2}\right |=\left |{a-2}\right | \), por tanto \( aTa \) (Reflexiva). Intenta la simétrica y transitiva y lo revisamos.

17 Mayo, 2019, 04:02 am
Respuesta #3

AveFenix

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Gracias a los 2 por el link, el cual logre hacer otro ejercicio de Equivalencia que era mas facil aunque sigo sin poder con el que puse anteriormente!, Nose porque  , el simple echo de que sea a-2=b-2 me confunde,

recién con lo aprendido pude hacer este ejercicio, podrían verificarlo?

\( \mathbb{R}=(x,y)\in{Z.Z}/x-y=2K, K\in{Z} \) 

la reflexiva ya la entendi me resulto fácil.
Reflexiva: \( (x,x)\in{Z}\rightarrow{(a,a)\in{R}} \)
\( x-x=0=2(0) \)
Se cumple.

Simetrica:
\( \forall{(x,y)\in{R}\rightarrow{(y,x)\in{R}}} \)
\( x-y=2k,k\in{Z} \)
\( -x+y=-2K,K\in{Z} \)
\( y-x=2(-k),-k\in{Z} \)
entonces \( (y,x)\in{R} \)

Se cumple.

Transitiva:
\( (x,y)\in{R}\wedge \)\( (y,z)\in{R}\rightarrow{(x,z)\in{R}} \)

\( x\sim{y}\wedge \)\( y\sim{z}\rightarrow{} \)\( x\sim{z} \)

hay que demostrar que \( x\sim{z} \)

que significa lo anterior :

que..,    \( x-y\wedge \)\( y-z\rightarrow{x-z} \)   esta bien?

\( x-y=2k_1,K_1 \in{Z} \)
\( y-z=2k_2;K_2\in{Z} \)
aqui se cancela y-y dejando
\( x-z=2k_1+2k_2, k1+k2 \in{Z} \)
\( x-z=2k,k\in{Z} \)
\( \rightarrow{(x,z)\in{R}} \)


Esta correcto?,
este me resulto mucho mas visible que el que puse al comienzo , por alguna razón no puedo visualizar e imaginarme el problema usando │a−2│=│b−2│   :banghead:
 inicie hace 1 día con esto me falta mucha practica.

Pido un Auxilio para lo otro :banghead:

Mañana en la mañana intento hacerlo el primero nuevamente ya que necesito estudiar,  dado el caso les comento o pongo lo que abre echo.
y si me equivoco me comentan.



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17 Mayo, 2019, 07:11 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola

\( \mathbb{R}=(x,y)\in{Z.Z}/x-y=2K, K\in{Z} \) 

¿Qué significa el conjunto de los reales a la izquierda de todo?

Tenés un ejercicio muy parecido en la página de arriba adjuntada, ejercicio 4. Nada más cambia el conjunto sobre el que está definida la relación de equivalencia (la tuya es un producto cartesiano, en la página es un conjunto a secas).

la reflexiva ya la entendi me resulto fácil.
Reflexiva: \( (x,x)\in{Z}\rightarrow{(a,a)\in{R}} \)
\( x-x=0=2(0) \)
Se cumple.

Bien.

Simetrica:
\( \forall{(x,y)\in{R}\rightarrow{(y,x)\in{R}}} \)
\( x-y=2k,k\in{Z} \)
\( -x+y=-2K,K\in{Z} \)
\( y-x=2(-k),-k\in{Z} \)
entonces \( (y,x)\in{R} \)

Se cumple.

Transitiva:
\( (x,y)\in{R}\wedge \)\( (y,z)\in{R}\rightarrow{(x,z)\in{R}} \)

\( x\sim{y}\wedge \)\( y\sim{z}\rightarrow{} \)\( x\sim{z} \)

hay que demostrar que \( x\sim{z} \)

que significa lo anterior :

que..,    \( x-y\wedge \)\( y-z\rightarrow{x-z} \)   esta bien?

\( x-y=2k_1,K_1 \in{Z} \)
\( y-z=2k_2;K_2\in{Z} \)
aqui se cancela y-y dejando
\( x-z=2k_1+2k_2, k1+k2 \in{Z} \)
\( x-z=2k,k\in{Z} \)
\( \rightarrow{(x,z)\in{R}} \)

Está bien, pero yo que vos sería un poco más prolijo.

Decís \( \forall(x,y)\in R \). Se podría decir primero eso, luego decir que \( (x,y)\in R \) implica \( (y,x)\in R \). Es como las \( x \) en un conjunto: se acostumbra decir \( A=\{x\mid x\leq5\} \) y no \( A=\{x\leq5\} \).

este me resulto mucho mas visible que el que puse al comienzo , por alguna razón no puedo visualizar e imaginarme el problema usando │a−2│=│b−2│   :banghead:

Pues la simétrica dice que, para todo \( a,b\in\Bbb R \) se verifica que si \( (a,b)\in T \) entonces \( (b,a)\in T \). Sea \( (a,b)\in \). Por definición de relación, equivale a \( |a-2|=|b-2| \). Pero el signo \( = \) es un operador conmutativo, luego escribimos \( |b-2|=|a-2| \), ¿por lo tanto....?

Transitiva. Para todo \( a,b,c\in\Bbb R \) se debe verificar que si \( (a,b)\in T \) y además \( (b,c)\in T \) entonces \( (a,c)\in T \). Pero por definición sabemos que \( |a-2|=|b-2| \) y \( |b-2|=|c-2| \). Además, la igualdad es una relación transitiva, así que \( |a-2|=|c-2| \), ¿por lo tanto....?

Saludos

P.D. Por favor, por cada ejercicio nuevo abrí un hilo nuevo.

19 Mayo, 2019, 04:23 pm
Respuesta #5

AveFenix

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Gracias, perdón la demora es que estoy muy ocupado estudiando estos días y apenas tiempo tenia de ingresar a agradecer, lo pude hacer gracias a ustedes! :) , como bien mencionaste voy abrir una nueva publicación sobre un nuevo ejercicio, saludos Genios.!
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