[p@ulbc]

Muy buenas noches a todos, tengo este ejercicio planteado y no logro sacar una respuesta coherente, no sé si está mal planteado o yo lo estoy resolviendo mal, dice así:
Demuestre que \(  k  \) y \(  \tau  \) son ambos cero para la recta:
\(  \overrightarrow{r}(t)= (x_0 + At) \overrightarrow{i} + (y_0 +Bt)\overrightarrow{j} + (z_0 +Ct)\overrightarrow{k}  \)

Si \(  (x_0,y_0,z_0)  \) es un punto y cada componente es real, y \(  A,B,C  \) son constantes, entonces la primera derivada me quedarían únicamente las constantes, y la segunda y tercera serían cero; pero si esto es así la torsión me quedaría cero sobre cero, o sea indefinida, ¿Alguien podría ayudarme a resolverlo? Se los agradezco. Por cierto, entiendo que me pide demostrar que la curvatura y torsión son cero.

[Fernando Revilla]

Bienvenido al foro.

Muy buenas noches a todos, tengo este ejercicio planteado y no logro sacar una respuesta coherente, no sé si está mal planteado o yo lo estoy resolviendo mal, dice así:
Demuestre que \(  k  \) y \(  \tau  \) son ambos cero para la recta:
\(  \overrightarrow{r}(t)= (x_0 + At) \overrightarrow{i} + (y_0 +Bt)\overrightarrow{j} + (z_0 +Ct)\overrightarrow{k}  \)Si \(  (x_0,y_0,z_0)  \) es un punto y cada componente es real, y \(  A,B,C  \) son constantes, entonces la primera derivada me quedarían únicamente las constantes, y la segunda y tercera serían cero; pero si esto es así la torsión me quedaría cero sobre cero, o sea indefinida, ¿Alguien podría ayudarme a resolverlo? Se los agradezco. Por cierto, entiendo que me pide demostrar que la curvatura y torsión son cero.

Ciertamente aparece una indeterminación al aplicar la fórmula de la torsión:

          \( \tau=\dfrac{\left[\mathbf{r}'(t), \mathbf{r}^{\prime\prime}(t),\mathbf{r}^{\prime\prime\prime}(t)\right]}{\left( \mathbf{r}^{\prime}(t)\times \mathbf{r}^{\prime\prime}(t)\right)^2}. \)

Ahora bien, si la curva está parametrizada por el arco, puedes aplicar la fórmula \( \tau = -\mathbf{n}\cdot\mathbf{b}' \) en donde \( \mathbf{n} \) y \( \mathbf{b} \) son los vectores normal y binormal respectivamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Muy buenas noches a todos, tengo este ejercicio planteado y no logro sacar una respuesta coherente, no sé si está mal planteado o yo lo estoy resolviendo mal, dice así:
Demuestre que \(  k  \) y \(  \tau  \) son ambos cero para la recta:
\(  \overrightarrow{r}(t)= (x_0 + At) \overrightarrow{i} + (y_0 +Bt)\overrightarrow{j} + (z_0 +Ct)\overrightarrow{k}  \)

Si \(  (x_0,y_0,z_0)  \) es un punto y cada componente es real, y \(  A,B,C  \) son constantes, entonces la primera derivada me quedarían únicamente las constantes, y la segunda y tercera serían cero; pero si esto es así la torsión me quedaría cero sobre cero, o sea indefinida, ¿Alguien podría ayudarme a resolverlo? Se los agradezco. Por cierto, entiendo que me pide demostrar que la curvatura y torsión son cero.

¿Exactamente cómo te han definido torsión? Normalmente se define en los puntos en los cuáles la curvatura NO es cero.

Ahora bien, si la curva está parametrizada por el arco, puedes aplicar la fórmula \( \tau = -\mathbf{n}\cdot\mathbf{b}' \) en donde \( \mathbf{n} \) y \( \mathbf{b} \) son los vectores normal y binormal respectivamente.

Pero relamente una recta en el espacio no tiene Vector Normal y Binormal; en todo caso tiene infinitos vectores normales y a partir de ahí uno puede definir el binormal.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Pero relamente una recta en el espacio no tiene Vector Normal y Binormal; en todo caso tiene infinitos vectores normales y a partir de ahí uno puede definir el binormal.

Estoy usando una generalización de la fórmula de la torsión cuando la curva viene en función del parámetro arco. Creo que has querido decir que para una recta en el espacio el vector binormal y el normal es nulo, en consecuencia está definido \( \tau=-\mathbf{n}\cdot\mathbf{b}'=-\mathbf{0}\cdot \mathbf{0}=0 \) para la parametrización arco. El resultado coincide con la idea intuitiva de estar incluido en su hipotético plano osculador que sería como caso degenerado el de cualquier plano que contiene a la recta. Nada más degenerado para una curva que ser una recta. 

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy usando una generalización de la fórmula de la torsión cuando la curva viene en función del parámetro arco. Creo que has querido decir que para una recta en el espacio el vector binormal y el normal es nulo

No, en realidad quise decir lo que dije; pero no se si es correcto. Es decir lo que está claro que para un punto de curvatura cero la definición estandar de vector normal (al menos la que yo recuerdo) no funciona (básicamente porque no puede ser unitario), es un caso excepcional. Entonces uno puede en ese caso excepcional por definición considerar el vector normal como nulo y entonces es como dices.

Realmente no recuerdo como suele solventarse "oficialmente" en la definición de vector normal, o de torsión esta situación.

Por eso digo que a la hora de responder a la pregunta de p@ulbc me parece importante saber exactamente cómo le han definido los conceptos implicados.

Todo viene, como dices después, de lo degenerada que es una recta.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Por eso digo que a la hora de responder a la pregunta de p@ulbc me parece importante saber exactamente cómo le han definido los conceptos implicados.

Sí, correcto, vamos a ver como se lo han definido.

[p@ulbc]

Hola

Muy buenas noches a todos, tengo este ejercicio planteado y no logro sacar una respuesta coherente, no sé si está mal planteado o yo lo estoy resolviendo mal, dice así:
Demuestre que \(  k  \) y \(  \tau  \) son ambos cero para la recta:
\(  \overrightarrow{r}(t)= (x_0 + At) \overrightarrow{i} + (y_0 +Bt)\overrightarrow{j} + (z_0 +Ct)\overrightarrow{k}  \)

Si \(  (x_0,y_0,z_0)  \) es un punto y cada componente es real, y \(  A,B,C  \) son constantes, entonces la primera derivada me quedarían únicamente las constantes, y la segunda y tercera serían cero; pero si esto es así la torsión me quedaría cero sobre cero, o sea indefinida, ¿Alguien podría ayudarme a resolverlo? Se los agradezco. Por cierto, entiendo que me pide demostrar que la curvatura y torsión son cero.

¿Exactamente cómo te han definido torsión? Normalmente se define en los puntos en los cuáles la curvatura NO es cero.

Ahora bien, si la curva está parametrizada por el arco, puedes aplicar la fórmula \( \tau = -\mathbf{n}\cdot\mathbf{b}' \) en donde \( \mathbf{n} \) y \( \mathbf{b} \) son los vectores normal y binormal respectivamente.

Pero relamente una recta en el espacio no tiene Vector Normal y Binormal; en todo caso tiene infinitos vectores normales y a partir de ahí uno puede definir el binormal.

Saludos.

Buenos días, me temo que no me la definieron de ninguna forma específica, puesto que el doctor nos mandó a consultar torsión y mandó ejercicios, y todo lo que he hecho es aplicar la fórmula que aparece aquí:
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_curvas

Así que no podría decir 'cómo nos la definieron'.

[Fernando Revilla]

Buenos días, me temo que no me la definieron de ninguna forma específica, puesto que el doctor nos mandó a consultar torsión y mandó ejercicios, y todo lo que he hecho es aplicar la fórmula que aparece aquí:
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_curvas
Así que no podría decir 'cómo nos la definieron'.

Bien, en tal caso eso te evita la responsabilidad de elegir un camino concreto. En el lugar que tú has consultado, pone

La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene.

y de esto se deduce que la ser una recta una curva plana, su torsión es \( 0 \).

P.D. Esto por supuesto más que una respuesta científica, es estratégica según lo propuesto por tu profesor.

[p@ulbc]

Buenos días, me temo que no me la definieron de ninguna forma específica, puesto que el doctor nos mandó a consultar torsión y mandó ejercicios, y todo lo que he hecho es aplicar la fórmula que aparece aquí:
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_curvas
Así que no podría decir 'cómo nos la definieron'.

Bien, en tal caso eso te evita la responsabilidad de elegir un camino concreto. En el lugar que tú has consultado, pone

La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene.

y de esto se deduce que la ser una recta una curva plana, su torsión es \( 0 \).

P.D. Esto por supuesto más que una respuesta científica, es estratégica según lo propuesto por tu profesor.

Entonces en base a la definición la torsión sería cero, pero ¿qué hay con la curvatura?

[Fernando Revilla]

[¿qué hay con la curvatura?

Aquí no hay ningún problema. La definición intrínseca de curvatura en un punto de una curva es \( \kappa=\displaystyle\lim_{\Delta s\to 0}\displaystyle\frac{\Delta \theta}{\Delta s} \) en donde \( \Delta \theta \) es el ángulo que forman las tangentes. El vector tangente es constante en una recta, por tanto \( \kappa=\displaystyle\lim_{\Delta s\to 0}\displaystyle\frac{0}{\Delta s}=\displaystyle\lim_{\Delta s\to 0}0=0 \).