[megasaw]

Buenas noches, tengo este ejercicio y la verdad no me queda claro como hacerlo, dice:
Si dos curvas de ecuaciones cartesianas \(  y=f(x)  \) y \(  y= g(x)  \) son tangentes en el punto \(  (a,b)  \) y tienen la misma curvatura en ese punto, pruebe que:
\(   \left | f''(a) \right | = \left | g''(a) \right |  \)
 
Entiendo que ambas se topan en el punto (a,b) pero, ¿cómo me ayuda eso a demostrar? o ¿qué podría hacer? Espero puedan ayudarme porque no entiendo cómo hacer o empezar.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas noches, tengo este ejercicio y la verdad no me queda claro como hacerlo, dice:
Si dos curvas de ecuaciones cartesianas \(  y=f(x)  \) y \(  y= g(x)  \) son tangentes en el punto \(  (a,b)  \) y tienen la misma curvatura en ese punto, pruebe que:
\(   \left | f''(a) \right | = \left | g''(a) \right |  \)
 
Entiendo que ambas se topan en el punto (a,b) pero, ¿cómo me ayuda eso a demostrar? o ¿qué podría hacer? Espero puedan ayudarme porque no entiendo cómo hacer o empezar.

Para una curva plana \( y=f(x) \), la curvatura en un punto \( (a,b) \) es:

\( \chi=\dfrac{|f''(a)|}{(1+f'(a)^2)^{3/2}} \)

y su vector tangente \( (1,f'(a)) \).

Entonces de tus hipótesis:

\( \dfrac{|f''(a)|}{(1+f'(a)^2)^{3/2}}=\dfrac{|g''(a)|}{(1+g'(a)^2)^{3/2}} \)

\( (1,f'(a)) \) paralelo a \( (1,g'(a)) \)

Concluye...

Saludos.

[megasaw]

Hola

Buenas noches, tengo este ejercicio y la verdad no me queda claro como hacerlo, dice:
Si dos curvas de ecuaciones cartesianas \(  y=f(x)  \) y \(  y= g(x)  \) son tangentes en el punto \(  (a,b)  \) y tienen la misma curvatura en ese punto, pruebe que:
\(   \left | f''(a) \right | = \left | g''(a) \right |  \)
 
Entiendo que ambas se topan en el punto (a,b) pero, ¿cómo me ayuda eso a demostrar? o ¿qué podría hacer? Espero puedan ayudarme porque no entiendo cómo hacer o empezar.

Para una curva plana \( y=f(x) \), la curvatura en un punto \( (a,b) \) es:

\( \chi=\dfrac{|f''(a)|}{(1+f'(a)^2)^{3/2}} \)

y su vector tangente \( (1,f'(a)) \).

Entonces de tus hipótesis:

\( \dfrac{|f''(a)|}{(1+f'(a)^2)^{3/2}}=\dfrac{|g''(a)|}{(1+g'(a)^2)^{3/2}} \)

\( (1,f'(a)) \) paralelo a \( (1,g'(a)) \)

Concluye...

Saludos.

Al decir que son paralelos, significa que uno es múltiplo de otro, por lo que podría simplificar, pero los denominadores son sumas de esos puntos, además de que el 1 solo se obtendría al multiplicar por sí mismo ¿ qué puedo hacer con ellos?

[delmar]

Hola

Para complementar, paralelos significa que uno múltiplo del otro, en ese caso \( (1,f'(a))=k(1,g'(a))\Rightarrow{1=k, \ f'(a)=kg'(a)}\Rightarrow{f'(a)=g'(a)} \). Ahora sí, saca conclusiones.

Saludos