Hola
Sea \( x_n \) una sucesión monótona y sea \( x_{n_k} \) una subsucesión de \( x_n \) tal que \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_{n_k}}=L \), donde \( L\in{R} \).
Como \( x_{n_k} \) converge a L con
\( L\in{R} \), \( x_{n_k} \) está acotada. Luego, como \( x_n \) es monótona y tiene una subsucesión acotada, entonces \( x_n \) está acotada. Entonces, como tenemos que la sucesión es monótona y acotada, la sucesión converge a un \( L_1\in{R} \). En consecuencia, todas sus subsucesiones convergen a \( L_1 \). En particular, tenemos que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{x_n}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{x_{n_k}}\Rightarrow{L_1=L} \), es decir, \( x_n \) converge a L, que es lo que se quería demostrar.
Está bien, supuesto que ya ten han demostrado todos los resultados que utilizas:
- Todas sucesión convergente está acotada.
- Toda sucesión monótona con una subsucesión acotada está acotada.
- Toda sucesión monótona acotada tiene límite.
- Toda subsucesión de una sucesión convergente converge a su mismo límite.
De todas formas no es difícil hacer una demostración directa.
Supón la sucesión monótona creciente (sería análogo para decreciebte). Que \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}x_{n_k}=L{} \) significa que:
\( \forall \epsilon>0 \) existe \( k_0 \) tal que \( k\geq k_0 \) implica que \( |x_{n_k}-L|<\epsilon \) es decir \( L-\epsilon<x_{n_k}<L+\epsilon \).
Pero entonces si \( m\geq n_{k_0} \) se tiene que:
\( x_m\geq x_{n_{k_0}}\geq L-\epsilon \) (1)
Además \( m\geq n_{k_0}\quad \Rightarrow{}\quad n_m\geq m\geq n_{k_0}\quad \Rightarrow{}\quad m\geq k_0 \) y entonces:
\( x_m\leq x_{n_{m}}<L+\epsilon \) (2)
De (1) y (2) \( |x_m-L|<\epsilon \) y hemos probado que:
\( \forall \epsilon>0 \) existe \( n_{k_0} \) tal que \( m\geq n_{k_0} \) implica que \( |x_{m}-L|<\epsilon \)
Saludos.
