[megasaw]

Saludos a todos, disculpas por tanta pregunta pero es que tengo docenas de ejercicios por hacer y este me está dando dolores de cabeza, dice así:
Dada la curva \(  \overrightarrow{r}(t)=(t-sent,1-cost,4sen(\frac{t}{2}))  \) halle la curvatura y la torsión de la curva en el punto donde el plano normal a la curva es paralelo al plano \(  z=1  \)
Estuve pensando en cómo hacer para resolverlo, primero intente aplicar la ecuación de curvatura y torsión y luego reemplazar con el punto, pero es que es demasiado largo obtener la curvatura aún con identidades, así que pensé en sacar el punto primero, pero tampoco puedo, sé que el vector es paralelo al del plano z (0,0,1) pero es toda la información que tengo, ¿pueden ayudarme?

[ciberalfil]

Solo tienes que pensar que si el plano normal es paralelo es paralelo al plano \( z=1 \) entonces el vector tangente debe ser paralelo al eje Z.

\( d\vec r \) debe ser entonces paralelo al eje Z.

Fácil ¿no?

Salu2

[megasaw]

Solo tienes que pensar que si el plano normal es paralelo es paralelo al plano \( z=1 \) entonces el vector tangente debe ser paralelo al eje Z.

\( d\vec r \) debe ser entonces paralelo al eje Z.

Fácil ¿no?

Salu2

Sí, eso lo sé, pero lo que no sé es cómo aplico eso o que ecuación me ayudaría a encontrar dicho punto, ya que para perpendicularidad existe el producto punto igual a 0, pero ¿qué se hace con el paralelismo?

[delmar]

Hola

El vector tangente es : \( r'(t)=(1-cos t,sen t,2 cos (\displaystyle\frac{t}{2})) \) y ha de ser paralelo al vector \( \overrightarrow{k} \)

A partir de aquí, hay varias formas, una de ellas, se basa en que si dos vectores son paralelos, por ejemplo \( r'(t) \) y \( \overrightarrow{k} \), ha de existir un escalar \( \lambda \) tal que \( r'(t)=\lambda \ \overrightarrow{k}\Rightarrow{(1-cos t)\overrightarrow{i}+sent \overrightarrow{j}+2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) \overrightarrow{k}=\lambda \overrightarrow{k}} \)

Esto implica :

\( (1-cos t)\overrightarrow{i}+sent \overrightarrow{j}+(2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) -\lambda) \overrightarrow{k}=\overrightarrow{O} \)

Por ser \( \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \) vectores linealmente independientes; para que la combinación lineal de ellos sea igual al vector nulo, las constantes han de ser cero, en consecuencia :

\( 1-cos t=0 \)

\( sent =0 \)

\( 2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) -\lambda=0 \)

De estas ecuaciones despejas t, pueden haber varios puntos y para la curvatura y torsión, hay fórmulas ya establecidas.

Saludos

[megasaw]

Hola

El vector tangente es : \( r'(t)=(1-cos t,sen t,2 cos (\displaystyle\frac{t}{2})) \) y ha de ser paralelo al vector \( \overrightarrow{k} \)

A partir de aquí, hay varias formas, una de ellas, se basa en que si dos vectores son paralelos, por ejemplo \( r'(t) \) y \( \overrightarrow{k} \), ha de existir un escalar \( \lambda \) tal que \( r'(t)=\lambda \ \overrightarrow{k}\Rightarrow{(1-cos t)\overrightarrow{i}+sent \overrightarrow{j}+2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) \overrightarrow{k}=\lambda \overrightarrow{k}} \)

Esto implica :

\( (1-cos t)\overrightarrow{i}+sent \overrightarrow{j}+(2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) -\lambda) \overrightarrow{k}=\overrightarrow{O} \)

Por ser \( \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \) vectores linealmente independientes; para que la combinación lineal de ellos sea igual al vector nulo, las constantes han de ser cero, en consecuencia :

\( 1-cos t=0 \)

\( sent =0 \)

\( 2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) -\lambda=0 \)

De estas ecuaciones despejas t, pueden haber varios puntos y para la curvatura y torsión, hay fórmulas ya establecidas.

Saludos

Muchísimas gracias de verdad.

[megasaw]

Hola

El vector tangente es : \( r'(t)=(1-cos t,sen t,2 cos (\displaystyle\frac{t}{2})) \) y ha de ser paralelo al vector \( \overrightarrow{k} \)

A partir de aquí, hay varias formas, una de ellas, se basa en que si dos vectores son paralelos, por ejemplo \( r'(t) \) y \( \overrightarrow{k} \), ha de existir un escalar \( \lambda \) tal que \( r'(t)=\lambda \ \overrightarrow{k}\Rightarrow{(1-cos t)\overrightarrow{i}+sent \overrightarrow{j}+2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) \overrightarrow{k}=\lambda \overrightarrow{k}} \)

Esto implica :

\( (1-cos t)\overrightarrow{i}+sent \overrightarrow{j}+(2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) -\lambda) \overrightarrow{k}=\overrightarrow{O} \)

Por ser \( \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \) vectores linealmente independientes; para que la combinación lineal de ellos sea igual al vector nulo, las constantes han de ser cero, en consecuencia :

\( 1-cos t=0 \)

\( sent =0 \)

\( 2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) -\lambda=0 \)

De estas ecuaciones despejas t, pueden haber varios puntos y para la curvatura y torsión, hay fórmulas ya establecidas.

Saludos

Muchísimas gracias de verdad.

Disculpa por la demora pero es que mañana entrego estos ejercicios y quería acabar los que me faltaban. He hecho los pasos que indicaste y obtuve el punto \(  (0,0,\frac{2\pi}{3})  \) sin embargo al querer usar ese punto llego a la contradicción de que \(  t=0  \) y \(  t=\arcsin\frac{\pi}{6}  \) lo cual es contradictorio, y si tomo el valor nulo la curvatura me da 0 y la torsión \(  \frac{0}{0}  \) lo cual obviamente es indefinido, ¿qué hice mal?

[Luis Fuentes]

Hola

Disculpa por la demora pero es que mañana entrego estos ejercicios y quería acabar los que me faltaban. He hecho los pasos que indicaste y obtuve el punto \(  (0,0,\frac{2\pi}{3})  \) sin embargo al querer usar ese punto llego a la contradicción de que \(  t=0  \) y \(  t=\arcsin\frac{\pi}{6}  \) lo cual es contradictorio, y si tomo el valor nulo la curvatura me da 0 y la torsión \(  \frac{0}{0}  \) lo cual obviamente es indefinido, ¿qué hice mal?

No entiendo lo que haces. De:

\( 1-cos(t)=0 \)
\( sin(t)=0 \)

(la tercera ecuación es indiferente porque \( \lambda \) puede ser cualquier valor), lo que obtienes es que \( t=2k\pi \) con \( k \) entero. Es decir hay infinitos puntos:

\( r(2k\pi)=(2k\pi,0,0) \) para \( k \) entero

Saludos.

[megasaw]

Hola

Disculpa por la demora pero es que mañana entrego estos ejercicios y quería acabar los que me faltaban. He hecho los pasos que indicaste y obtuve el punto \(  (0,0,\frac{2\pi}{3})  \) sin embargo al querer usar ese punto llego a la contradicción de que \(  t=0  \) y \(  t=\arcsin\frac{\pi}{6}  \) lo cual es contradictorio, y si tomo el valor nulo la curvatura me da 0 y la torsión \(  \frac{0}{0}  \) lo cual obviamente es indefinido, ¿qué hice mal?

No entiendo lo que haces. De:

\( 1-cos(t)=0 \)
\( sin(t)=0 \)

(la tercera ecuación es indiferente porque \( \lambda \) puede ser cualquier valor), lo que obtienes es que \( t=2k\pi \) con \( k \) entero. Es decir hay infinitos puntos:

\( r(2k\pi)=(2k\pi,0,0) \) para \( k \) entero

Saludos.

Por qué pones el valor en X? Puedes explicarme?

[delmar]

\( \vec{r}(t)=(t-sen \ t,1-cos \ t,4sen(\displaystyle\frac{t}{2})) \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

(la tercera ecuación es indiferente porque \( \lambda \) puede ser cualquier valor), lo que obtienes es que \( t=2k\pi \) con \( k \) entero. Es decir hay infinitos puntos:

\( r(2k\pi)=(2k\pi,0,0) \) para \( k \) entero

Saludos.

Por qué pones el valor en X? Puedes explicarme?

Por concretar aun más.

Se tiene:

\( \overrightarrow{r}(t)=(t-sent,1-cost,4sen(\frac{t}{2})) \)

Por tanto si \( t=2k\pi \):

\( \overrightarrow{r}(2k\pi)=(2k\pi-sen(2k\pi),1-cos(2k\pi),4sen(\frac{2k\pi}{2}))=(2k\pi-0,1-1,4\cdot 0)=(2k\pi,0,0) \)

Saludos.

P.D. Viendo tus preguntas el foro a veces me da la impresión que intentas entender las cosas "desde lejos", sin remangarte y hacer tu las cuentas para comprobar las cosas. ¡No tengas miedo a las matemáticas y suéltate a hacer tu los cálculos!.