[Sallaks]

Hola, necesitaría ayuda con este ejercicio.Gracias

Demostrar la validez de la siguiente afirmación:

    \( |x-3|<\dfrac{1}{2}\;\,\Rightarrow\;\,\dfrac{1}{|x − 2|} < 2 \)

[manooooh]

Hola

Para las expresiones matemáticas debés usar LaTeX. Acá podés ver cómo usarlo.

Demostrar la validez de la siguiente afirmación:

 \( |x - 3| < \dfrac12  \implies\dfrac1{|x − 2|} < 2 \)

¿Qué intentaste?

Yo empezaría de \( 1/|x-2| \) y concluiría que es menor a \( 2 \), usando el hecho de que \( |x-3|<1/2 \).

Spoiler

\( \displaystyle\frac1{|x-2|}=\frac1{|x-3+1|}\leq\frac1{|x-3|+1}<\frac{1}{1/2+1}=\cdots \)

[cerrar]

Saludos

[mathtruco]

Hola.

Lo que está en rojo está malo:

\( \displaystyle\frac1{|x-2|}=\frac1{|x-3+1|}\leq\frac1{|x-3|+1}\;\,{\color{red}<}\;\,\frac{1}{1/2+1}=\cdots \)

Una forma es hallar el conjunto solución de ambas inecuaciones y decidir, esto es, hallar \( A=\{x\in\mathbb{R}:|x-3|<1/2\} \)  y  \( B=\{x\in\mathbb{R}:\dfrac{1}{|x-2|}<2\} \), y verificar que \( A\subseteq B \), con lo que estarás probando que \( |x-3|<1/2\Rightarrow \dfrac{1}{|x-2|}<2 \).

Otra forma es la siguiente:

    \( |x-3|<\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{-1}{2}<x-3<\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<x-2<\dfrac{3}{2}\;{\color{red}\Rightarrow}\; \dfrac{1}{2}<|x-2|\Leftrightarrow \dfrac{1}{|x-2|}<2 \).


Este problema se parece mucho al otro que planteaste: Ejercicio demostrar validez de una afirmación valor absoluto, ¿te han quedado claras las otras preguntas que hiciste?


Revisa los siguientes links para aprender como escribir las ecuaciones en el foro de acuerdo a las reglas:

    Leer primero: comenzando a editar fórmulas con LATEX
    ¡Atención! Hay que poner la matemática con LaTeX, y se hace así

Hice modificaciones a tu mensaje para que las ecuaciones se vean correctamente, revísalos.