[natydlv]

Hola compañeros, me podrán ayudar con este ejercicio? Saludos

Encontrar todos los complejos tales que: \( \left |{4z-2i}\right |\leq{8}\wedge Re(z)<Im(z) \)

Avances:

\( z=a+bi\Rightarrow{\left |{4\cdot{(a+bi)}-2i}\right |}\leq{8}\wedge a<b \)
\( \Rightarrow{\left |{4a+4bi-2i}\right |\leq{8}\wedge a<b} \)
\( \Rightarrow{\left |{4a+(4b-2)i}\right |\leq{8}\wedge a<b} \)
\( \Rightarrow{\sqrt[ ]{{(4a)}^2+{(4b-2)}^2}\leq{8}\wedge a<b} \)
\( \Rightarrow{16a^2+16b^2-16b+4\leq{64}\wedge a<b} \)
\( \Rightarrow{16a^2+16(b^2-b+\displaystyle\frac{1}{4})\leq{64}\wedge a<b} \)
\( \Rightarrow{a^2+b^2-b+\displaystyle\frac{1}{4}\leq{4}\wedge a<b} \)

desde aquí no se me ocurre como continuar...

[manooooh]

Hola!

(...)
\( \Rightarrow{16a^2+16(b^2-b+\displaystyle\frac{1}{4})\leq{64}\wedge a<b} \)
(...)

Luego usando la fórmula resolvente, \( 16a^2+16(b-\frac12)^2\leq64 \), entonces \( a^2+(b-\frac12)^2\leq4 \), es decir, por una parte tenemos una circunferencia con su relleno centrada en \( (0,1/2) \) de radio \( 2 \), y por el otro, \( a<b \), es decir una recta \( a=b \) pero que incluye mitad del primer cuadrante, todo el segundo cuadrante, y parte del tercero.

Es decir, la solución es el conjunto \( \{z=a+bi\in\Bbb C\mid a^2+(b-\frac12)^2\leq4,\;a<b\} \).

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+a%5E2%2B(b-1%2F2)%5E2%3C%3D4,a%3Cb

En el gráfico se debe omitir el relleno de la recta \( a=b \) ya que la desigualdad es estricta.

Saludos

[ingmarov]

Hola

Creo que es más sencillo hacerlo de forma gráfica, la región es la intersección de todos los puntos dentro y frontera de la circunferencia centrada en (0,0.5) de radio 2 y el semiplano sobre la recta y=x (Im(z)=Re(z))

Saludos