[Sallaks]

 Hola tengo que demostrar la validez de esta afirmacion e interpretar geométricamente el resultado. Pude demostrar su validez lo que no se cómo hacer es interpretar el resultado geométricamente. Y tampoco entiendo esta frase "La distancia de "X" es menor que 2 de 3".

        \( |x-3|<2\Rightarrow |x|<5 \)

[feriva]

Hola tengo que demostrar la validez de esta afirmacion e interpretar geométricamente el resultado. Pude demostrar su validez lo que no se cómo hacer es interpretar el resultado geométricamente. Y tampoco entiendo esta frase "La distancia de "X" es menor que 2 de 3".

|x − 3| < 2 ⇒ |x| < 5

Lo que dice es esto \( |x-3|<2
  \) con palabras, pero lo dice muy raro; entiéndelo así: la distancia entre x y 3 es menor que dos.

Spoiler

La afirmación es cierta para números reales positivos, pues \( x=5\Rightarrow|x|=5\Rightarrow|x-3|=2
  \), por tanto, ha de ser un positivo menor que cinco. Pero si consideramos negativos también, tenemos como contraejemplo \( x=-4\Rightarrow|x|<5\Rightarrow|-4-3|=7>2
  \), y evidentemente no es cierto.

[cerrar]

perdona, que he hecho la implicación al revés, lo del spoiler no vale

Geométricamente, representa la recta numérica

...-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6...

Dilo así

\( si\, x\in\mathbb{R}^{-}\Rightarrow|x-3|\geq3
  \) luego \( |x-3|<2\Rightarrow x\in\mathbb{R}^{+}
  \) o de otra forma \( |x-3|<2\Rightarrow x=|x|
  \)

\( si\, x=5\Rightarrow|x-3|=2
  \)

en conclusión

\( |x|<5
  \)

Saludos.

[mathtruco]

Hola. Complementando la respuesta de feriva:

Definamos los conjuntos:

    \( A:=\{x\in\mathbb{R}:|x-3|<2\} \)

y

    \( B:=\{x\in\mathbb{R}:|x|<5\} \).

Con esto,

    \( x\in A\Leftrightarrow |x-3|<2\Leftrightarrow -2<x-3<2\Leftrightarrow 1<x<5 \), lo que gráficamente es:

   

A su vez,

    \( x\in B\Leftrightarrow |x|<5\Leftrightarrow -5<x<5 \), lo que gráficamente es:

   

Nota que en palabras, el conjunto \( B \) son los números reales tales que la distancia entre \( x \) y el origen es 5. Entendido esto, es claro que el conjunto \( A \) son los números reales tales que la distancia entre \( x-3 \) y el origen es 2.

Gráficamente, es claro que el conjunto \( A \) es subconjunto de \( B \), puesto todo elemento de \( A \) está en \( B \), pero no al revés, por lo que \( A\subseteq B \) y \( A\neq B \), lo que representamos como:

   


Analíticamente,

    \( x\in A\Leftrightarrow |x-3|<2\Leftrightarrow -2<x-3<2\Leftrightarrow 1<x<5\;\,{\color{red}\Rightarrow} -5<x<5 \Leftrightarrow |x|<5\Leftrightarrow x\in B \).

Nota que esa implicancia en rojo es lo que prueba que \( A \) es subconjunto de \( B \), pero no son el mismo conjunto.