[R_Gauss]

Hola,
Tengo una leve confusión sobre este ejercicio:

Sea \( \mathbb{Z} \) el conjunto de los números enteros.

!. Demuestre que \( (\mathbb{Z}, ∗) \), donde \( a ∗ b = a + b − 1 \) es un grupo abeliano.

2. Demuestre que \( (\mathbb{Z},+) \) y \( (\mathbb{Z}, ∗) \) son grupos isomorfos.


El apartado (1) ya lo demostré. Mi confusión rádica en (2) apartado. Preguntas:

a) ¿El grupo \( (\mathbb{Z}, ∗)  \) es el mismo definido anteriormente?

b) ¿Si yo tengo \( f: (\mathbb{Z},+) \longrightarrow{(\mathbb{Z}, ∗)} \), es correcto?

c) ¿Cómo defino a \( f \) para demostrar que es homomorfismo y que la función es biyectiva?

Agradezco sus colaboraciones,

Saludos,

[geómetracat]

a) ¿El grupo \( (\mathbb{Z}, ∗)  \) es el mismo definido anteriormente?

Sí, claro.

b) ¿Si yo tengo \( f: (\mathbb{Z},+) \longrightarrow{(\mathbb{Z}, ∗)} \), es correcto?

No entiendo muy bien qué es lo que preguntas. Lo que debes encontrar es una biyección \( f:\Bbb Z \rightarrow \Bbb Z \) que cumpla \( f(a+b) = f(a) * f(b) \) para todo par de enteros \( a,b \).

c) ¿Cómo defino a \( f \) para demostrar que es homomorfismo y que la función es biyectiva?

Si defines \( f(n) = n+1 \), tienes \( f(a+b) = a+b+1 = f(a) * f(b) \).

[R_Gauss]

Hola geómetracat

Gracias por la respuesta,

b) ¿Si yo tengo \( f: (\mathbb{Z},+) \longrightarrow{(\mathbb{Z}, ∗)} \), es correcto?

No entiendo muy bien qué es lo que preguntas. Lo que debes encontrar es una biyección \( f:\Bbb Z \rightarrow \Bbb Z \) que cumpla \( f(a+b) = f(a) * f(b) \) para todo par de enteros \( a,b \).

Me refiero a la definición de función de tal manera que exista el homomorfismo y la biyección. Significa que las operaciones \( * \) y \( + \) solamente intervienen cuando se define la función (es decir, cuando se este operando) ¿Es así?.

Saludos,

[geómetracat]

No estoy seguro de entenderte.
Normalmente la notación \( f:(\Bbb Z, +) \rightarrow (\Bbb Z, *) \) se usa para indicar que \( f \) es un morfismo de grupos entre los dos grupos indicados. Esto es, una aplicación \( f: \Bbb Z \rightarrow \Bbb Z \) que satisface \( f(a+b) = f(a) * f(b) \) para todo \( a,b \in \Bbb Z \).
El ser morfismo de grupos es una propiedad que puede tener \( f \) o no. Las operaciones de los grupos no intervienen para nada a la hora de definir \( f \).