Hola
Hola, tengo que abrir un nuevo hilo sobre algo que creía entendido. En este enlace:
http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/TEORIA2-2.pdf
en la página 12 (segunda), en la sección 2.3, afirma:
"Con esta notación: \( A_i=(a_{i1}, a_{i2},...,a_{in})=\displaystyle\sum^n_{j=1}a_{ij}E_j \)."
Pero más adelante, en la siguiente fórmula la \( j \) pasa a ser \( i \). ¿Por qué?
Los índices son mudos. Es decir es lo mismo escribir:
\( A_i=(a_{i1}, a_{i2},...,a_{in})=\displaystyle\sum^n_{j=1}a_{ij}E_j \)
que
\( A_i=(a_{i1}, a_{i2},...,a_{in})=\displaystyle\sum^n_{k=1}a_{ik}E_k \)
\( A_i=(a_{i1}, a_{i2},...,a_{in})=\displaystyle\sum^n_{w=1}a_{iw}E_w \)
\( A_i=(a_{i1}, a_{i2},...,a_{in})=\displaystyle\sum^n_{i_1=1}a_{ii_1}E_{i_1} \)
Como se va a aplicar la fórmula para \( A_1,A_2,\ldots,A_n \) habría que utilizar \( n \) índices \( j \) diferentes y por eso se utilizan \( i_1,i_2,\ldots,i_n \).
Te recomiendo que reproduzcas la demostración para \( n=2 \) y sin sumatorios, de manera explícita. Tienes:
\( A_1=a_{11}E_1+a_{12}E_2 \)
\( A_2=a_{21}E_1+a_{22}E_2 \)
\( det(A_1,A_2)=det(a_{11}E_1+a_{12}E_2,A_2)= \)
Por la linealidad de la primera componente:
\( =a_{11}det(E_1,A_2)+a_{12}det(E_2,A_2)=a_{11}det(E_1,a_{21}E_1+a_{22}E_2)+a_{12}det(E_2,a_{21}E_1+a_{22}E_2)= \)
Por la linealidad de la segunda componente:
\( =a_{11}a_{21}det(E_1,E_1)+a_{11}a_{22}det(E_1,E_2)+a_{12}a_{21}det(E_2,E_1)+a_{12}a_{22}det(E_2,E_2) \)
Los determinantes con filas iguales se anulan y queda:
\( a_{11}a_{22}det(E_1,E_2)+a_{12}a_{21}det(E_2,E1) \)
Y cambiar el orden de dos filas cambia el signo del determinante:
\( (a_{21}a_{22}-a_{12}a_{21})det(E_1,E_2) \)
Exactamente el mismo argumento funciona para probar el determinante del producto de matrices si cambias las filas \( E_i \) por filas \( B_i \) de una segunda matriz.
Saludos.
