[Marcos Castillo]

Hola, en este enlace:

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/TEORIA2-2.pdf

entre las páginas 12 y 13 (segunda y tercera) dice:

"Pero si algún \( k_i=k_j \) entonces \( det(B_{k_1}, B_{k_2},...,B_{k_n}) \) es nulo. Nos quedamos sólo con los términos donde aparecen los índices \( k_1,...,k_n \) tomando todos los valores posibles entre 1 y \( n \), pero quizá en otro orden. Es decir, esos índices determinan una permutación de \( n \) elementos de manera que ahora la expresión se escribe (...)".

¿Tomando todos los posibles valores entre 1 y \( n \), pero quizá en otro orden, desaparece la posibilidad de que el determinante sea nulo?; ¿quizá en otro orden qué relevancia tiene si no se menciona la signatura?.
¡Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, en este enlace:

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/TEORIA2-2.pdf

entre las páginas 12 y 13 (segunda y tercera) dice:

"Pero si algún \( k_i=k_j \) entonces \( det(B_{k_1}, B_{k_2},...,B_{k_n}) \) es nulo. Nos quedamos sólo con los términos donde aparecen los índices \( k_1,...,k_n \) tomando todos los valores posibles entre 1 y \( n \), pero quizá en otro orden. Es decir, esos índices determinan una permutación de \( n \) elementos de manera que ahora la expresión se escribe (...)".

¿Tomando todos los posibles valores entre 1 y \( n \), pero quizá en otro orden, desaparece la posibilidad de que el determinante sea nulo?; ¿quizá en otro orden qué relevancia tiene si no se menciona la signatura?.

Lo que quieres decir es que los sumandos donde aparece algún índice repetido son cero, porque el determinante de una matriz con dos filas iguales es nulo.

En los restantes sumandos todos los índices son distintos de manera que los \( k_1,k_2,\ldots,k_n \) son precisamente una permutación de los n elementos:

\( k_1=\sigma(1),\qquad k_2=\sigma(2),\ldots,\qquad, k_n=\sigma(n) \)

para una cierta permutación \( \sigma \).

Eso permite reescribir el sumatorio anterior en términos de \( \sigma \) recorriendo todas las permutaciones posibles. En todo esto no intervine para nada la signatura.

Es interesante que compares esa demostración con la deducción de la fórmula del determinante que se hace en la sección previa 2.3; es exactamente lo mismo sólo que ahora en lugar de las filas \( E_i \) aparecen las filas \( B_i \).

Saludos.

[Marcos Castillo]

¡Tenía que haberme dado cuenta yo!. Objetivo cumplido. El lunes consigo el libro de la Uned, y dejo éste, que tenía que proponía demostraciones como ejercicios, pero no conseguía hacerlo por mí mismo. El libro de la Uned es mucho más reciente, y en mis próximas dudas no tendré que acudir a enlaces. Espero que sea más completo.
¡Un saludo!

[Marcos Castillo]

Hola, aquí de nuevo. En la expresión\( det(\sum^n_{k_1}a_{1k_1}B_{k1}, \mbox{etc}) \), ¿qué son \( k_1, k_2,...., k_n \)?; ¿por qué de \( k_1 \) a \( n \), de \( k_2 \) a \( n \), etc?.
Estoy en la biblioteca, y aquí he tenido tiempo de fijarme más en el texto. Y me han surgido más dudas.
"Nos quedamos sólo(...)", dice. ¿Qué descarta?. De nuevo me pregunto: ¿qué son \( k_1, k_2,...., k_n \) en comparación con \( 1...n \)?.
Mucho lío, ¿no?. No he sabido ser más concreto en las dudas.
¡Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, aquí de nuevo. En la expresión\( det(\sum^n_{k_1}a_{1k_1}B_{k1}, \mbox{etc}) \), ¿qué son \( k_1, k_2,...., k_n \)?; ¿por qué de \( k_1 \) a \( n \), de \( k_2 \) a \( n \), etc?.

Hay una errata. Los sumatorios deberían de ser:

\( \displaystyle\sum_{k_1=1}^n{} \)

es decir los índices \( k_i \)  recorren todos los números de \( 1 \) a \( n \).

"Nos quedamos sólo(...)", dice. ¿Qué descarta?. De nuevo me pregunto: ¿qué son \( k_1, k_2,...., k_n \) en comparación con \( 1...n \)?.

Se trata de descartar los determinantes con dos filas repetidas, equivalentemente, con dos índices \( k_i,k_j \) iguales. Como te he dicho el desarrollo es exactamente el mismo que se usa para deducir la fórmual del determinante y te he puesto un ejemplo aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=108924.msg430433#msg430433

Saludos.

[Marcos Castillo]

¡Entendido!. Muchas gracias.