El problema dice así: Un mol de gas ideal experimenta 4 transformaciones sucesivas: una isoterma, una isócora, una adiabática y otra isócora. Los datos son: \( P_1, V_1, P_2=\displaystyle\frac{P_1}{2}, T_3=\displaystyle\frac{T_1}{2} \) y \( V_4=V_1 \). Hallar la variación de energía interna, el intercambio de calor y el trabajo realizado por el gas en cada una de las transformaciones. Indicar en qué transformaciones el gas absorbe calor y en cuáles realiza trabajo. Hallar el rendimiento del ciclo completo.
Teniendo en cuenta las características de las transformaciones obtengo esto:
\begin{vmatrix} & P & V & T\\ 1 & P_1 & V_1 & T_1\\ 2 & \frac{P_1}{2} & 2·V_1 & T_1\\ 3 & \frac{P_1}{4} & 2·V_1 & \frac{T_1}{2}\\ 4 & P_1·2^{\gamma -2} & V_1 & T_1·2^{\gamma -2}\end{vmatrix}
\begin{vmatrix} & W & Q & U\\ 1\rightarrow{2}isotermo & nRT_1ln2 & nRT_1ln2 & 0\\ 2\rightarrow{3}isócoro & 0 & n·C_v·(-\displaystyle\frac{T_1}{2})& n·C_v·(-\displaystyle\frac{T_1}{2})\\ 3\rightarrow{4}adiabático & -\frac{P_1·2^{\gamma -2}·V_1-\displaystyle\frac{P_1}{4}·2V_1}{\gamma-1} & 0 & n·C_v·(T_1·2^{\gamma -2}-\displaystyle\frac{T_1}{2})\\ 4\rightarrow{1}isócoro & 0 & n·C_v·(T_1-T_1·2^{\gamma -2}) & n·C_v·(T_1-T_1·2^{\gamma -2})\end{vmatrix}
Está claro que trabajo sólo se produce en las transformaciones \( 1\rightarrow{2} \) y \( 3\rightarrow{4} \).
Mientras que el calor absorbido es la suma de los calores de las transformaciones \( 1\rightarrow{2} \) y \( 4\rightarrow{1} \).
Que nos servirá para calcular el rendimiento.
El problema es que debo tener alguna de las expresiones mal puesto que al desarrollar no consigo la ecuación que da el rendimiento en función del coeficiente adiabático.
Por un lado el trabajo realizado vendrá dado por:
\( W_{realizado}=nRT_1ln2-\frac{P_1·2^{\gamma -2}·V_1-\displaystyle\frac{P_1}{4}·2V_1}{\gamma-1}=\displaystyle\frac{nRT_1[(\gamma-1)ln2-(2^{(\gamma-2)}-\displaystyle\frac{1}{2})]}{\gamma-1} \)
Y el calor absorbido:
\( Q_{absorbido}=nRT_1·(ln2+\displaystyle\frac{C_v}{R}·(1-2^{(\gamma-2)})) \)
Cuando desarrollo el rendimiento y simplifico es cuando no obtengo la ecuación correcta. ¿Alguien ve algún fallo hasta aquí?. En algún momento dado puede que haya que suponer que el gas es diatómico.
