[Marcos Castillo]

Hola, en el pdf que adjunto,

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/TEORIA2-2.pdf

no entiendo la expresión de la página 12 (la segunda hoja, arriba a la derecha:

\( |A^{t}|=\displaystyle\sum_{\sigma\in{Perm(n)}}\epsilon(\sigma^{-1})a_{1\sigma^{-1}(1)}a_{2\sigma^{-1}(2)}···a_{n\sigma^{-1}(n)} \).

¿Por qué bajo el signo de sumatorio aparece \( \sigma \), y en el desarrollo aparece la permutación inversa?.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, en el pdf que adjunto,

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/TEORIA2-2.pdf

no entiendo la expresión de la página 12 (la segunda hoja, arriba a la derecha:

\( |A^{t}|=\displaystyle\sum_{\sigma\in{Perm(n)}}\epsilon(\sigma^{-1})a_{1\sigma^{-1}(1)}a_{2\sigma^{-1}(2)}···a_{n\sigma^{-1}(n)} \).

¿Por qué bajo el signo de sumatorio aparece \( \sigma \), y en el desarrollo aparece la permutación inversa?.

Te pongo un ejemplo con \( n=3 \). Lo que utiliza es que dada una permutación \( \sigma \) el producto:

\( a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3} \)

es el mismo que:

\( a_{1\sigma^{-1}(1)}a_{2\sigma^{-1}(2)}a_{3\sigma^{-1}(3)} \)

En el primer caso para cada término el índice de fila es la imagen por \( \sigma \) del de columna (el segundo); eso es lo mismo que decir que el índice de columna es la imagen inversa del de fila, que es lo que aparece en la segunda expresión.

Por ejemplo si la permutación es \( \sigma=(3,1,2) \) es decir:

\( \sigma(1)=3,\qquad \sigma(2)=1,\qquad \sigma(3)=2 \)

el primer producto es:

\( a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}=a_{31}a_{12}a_{23} \)

Por otra parte:

\( \sigma^{-1}(3)=1,\qquad \sigma^{-1}(1)=2,\qquad \sigma^{-1}(2)=3 \)

y por tanto:

\( a_{1\sigma^{-1}(1)}a_{2\sigma^{-1}(2)}a_{3\sigma^{-1}(3)}=a_{12}a_{23}a_{31} \)

Saludos.

P.D. Tengo la duda de si estás avanzando en este capítulo de determinantes sin tener claro sus inicios: no es recomendable. Para entender las demostraciones que involucran la fórmula de las permutaciones es imprescindible primero que comprendas perfectamente esa fórmula. Por ejemplo, ¿has obtenido por ti mismo usando esa fórmula el desarrollo de un determinante \( 2\times 2 \) y \( 3\times 3 \)?.

[Marcos Castillo]

Lo voy a hacer con el móvil:
Permutación:
\( \sigma_{1}=(1,2,3); \sigma_{2}=(2,3,1); \sigma_{3}=(3,1,2); \sigma_{4}=(3,2,1); \sigma_{5}=(1,3,2); \sigma_{6}=(2,1,3) \)
Cálculo del la signatura:
\( -; 213-231; 132-312; 321; 132; 213 \)
Signatura:
\( \epsilon(\sigma_{1})=(-1)^{0}=1; \epsilon(\sigma_{2})=(-1)^{1}=1 \), etc
\( \displaystyle\sum_{\sigma\in Perm(3)}\epsilon(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)} \), que nos llevan a la regla de Sarrus. Por otra parte se puede desarrollar este sumatorio mismo para la matriz traspuesta, con solo trasmutar los subíndices de los subíndices de los elementos del sumatorio; las permutaciones y la signatura no cambian. El resultado es el desarrollo de un determinante idéntico al de \( A \): el mismo Sarrus.
Pero lo he hecho bien porque se trata de algo mecánico. Sin embargo si no lo llego a hacer, me habría quedado con una laguna. Quiero decir que tengo una duda ahora:
-¿\( \sigma(1), \sigma(2), \sigma(3) \), ¿qué nombre reciben?.
No sé por qué he hecho mal la fórmula del sumatorio

[Luis Fuentes]

Hola

Lo voy a hacer con el móvil:
Permutación:
\( \sigma_{1}=(1,2,3); \sigma_{2}=(2,3,1); \sigma_{3}=(3,1,2); \sigma_{4}=(3,2,1); \sigma_{5}=(1,3,2); \sigma_{6}=(2,1,3) \)
Cálculo del la signatura:
\( -; 213-231; 132-312; 321; 132; 213 \)
Signatura:
\( \epsilon(\sigma_{1})=(-1)^{0}=1; \epsilon(\sigma_{2})=(-1)^{1}=1 \), etc
\( \displaystyle\sum_{\sigma\in Perm(3)}\epsilon(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)} \), que nos llevan a la regla de Sarrus. Por otra parte se puede desarrollar este sumatorio mismo para la matriz traspuesta, con solo trasmutar los subíndices de los subíndices de los elementos del sumatorio; las permutaciones y la signatura no cambian. El resultado es el desarrollo de un determinante idéntico al de \( A \): el mismo Sarrus.+

Bien.

Pero lo he hecho bien porque se trata de algo mecánico. Sin embargo si no lo llego a hacer, me habría quedado con una laguna. Quiero decir que tengo una duda ahora:
-¿\( \sigma(1), \sigma(2), \sigma(3) \), ¿qué nombre reciben?.

Son las imágenes por la permutación \( \sigma \) respectivamente del \( 1 \) del \( 2 \) y del \( 3 \).

No sé por qué he hecho mal la fórmula del sumatorio

Te sobraba una llave. Te lo he corregido.

Saludos.

[Marcos Castillo]

¡Gracias!. Sólo cuando voy a la biblioteca (abre a las tardes) tengo un ordenador en condiciones. Espero tener un buen ordenador propio antes de fín de año. Son cuestiones de logística.