Es la definición de matriz traspuesta. Si \( A \) es una matriz cualquiera, la matriz traspuesta \( A^t \) cumple que \( (A^t)_{ij} = A_{ji} \), donde \( A_{ij} \) es el elemento que aparece en la fila \( i \) y columna \( j \) de la matriz \( A \) (lo mismo que llaman en el pdf \( a_{ij} \)). Informalmente se dice que trasponer una matriz es intercambiar filas y columnas (el elemento que en la matriz original ocupa la fila \( i \) y columna \( j \), en la traspuesta ocupa la fila \( j \) y la columna \( i \)).
Sobre la segunda expresión es lo que obtienes al aplicar la definición de determinante a la matriz \( A^t \) y usar la relación que he puesto antes para expresarlo en términos de los elementos de la matriz \( A \). Si continuas leyendo verás que prueban que de hecho \( det(A) = det(A^t) \).
