Hola
Definicio´n 1.3 Dada una permutaci´on σ llamamos signatura de σ y la denotamos por (σ) al nu´mero: (σ) = (−1)k donde k es el nu´mero de trasposiciones en que puede descomponerse σ.
Esta frase la he copiado del pdf de http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/TEORIA2-2.pdf, de la página 11, a la izquierda, Definición 1.3. ¿A qué te refieres cuando dices "(...), pero la signatura no cambia pese a eso?". Estoy metiendo la pata, fijo, y no sé en qué.
Lo que quieres decir feriva y el PDF es que puede que una misma permutación pueda descomponerse en distintos números de trasposiciones. Por ejemplo si \( n=3 \) para llegar al orden \( (1,3,2) \) puedes hacer:
\( (1,2,3)\to (2,1,3)\to (2,3,1)\to (1,2,3) \) (en cada paso sólo cambian de orden dos elementos y
son tres pasos).
\( (1,2,3)\to (1,3,2)) \) (en cada paso sólo cambian de orden dos elementos y
es un paso).
Pero como ambos son impares \( (-1)^1=(-1)^3=-1 \) luego la signatura no depende del número de pasos sino de su paridad; sólo depende de la permutación.
\( Perm(4) \) es el conjunto \( {\sigma_{1}, \sigma_{2},..., \sigma_{24}} \); pero, por poner otro ejemplo siguiendo la teoría del pdf que acabo de citar (TEORIA2-2.pdf), en su primera página, al dar la aplicación \( \sigma \): cojo una permutación del ejemplo que me daba miedo mirar 
: \( \sigma_{2}=(1,2,4,3) \); pues bien, siguiendo (o más bien tratando de seguir) TEORIA2-2.pdf: \( \sigma_{2} \) es el conjunto \( {\sigma(1)=1, \sigma(2)=2, \sigma(3)=4, \sigma(4)=3} \). ¿Estoy en lo cierto?. Porque si lo estoy, esto me parece un baile de sigmas. Me refiero al último conjunto que he escrito. ¿Dónde está mi error?.
No hay ningún error grueso. ¿Por qué piensas que hay un error? Hay sutilezas: dices "... es el conjunto...". Más bien es la aplicación \( \sigma_2:\{1,2,3,4\}\to \{1,2,3,4\} \) definida como:
\( \sigma_2(1)=1,\qquad \sigma_2(2)=2,\qquad \sigma_2(3)=4,\quad \sigma_2(4)=3 \)
Uno usa \( (1,2,4,3) \) (que son las imágenes de los elementos \( 1,2,3,4 \)) como abreviatura de la aplicación anterior.
Recuerda que cada permutación de \( 4 \) elementos es una reordenación de esos elementos o equivalentemente una aplicación biyectiva del conjunto \( \{1,2,3,4\} \) en si mismo.
Saludos.
P.D. Si es bueno que entiendas el ejemplo. Y es bueno que para \( n=2, n=3 \) tu mismo desarrolles la fórmula del determinante por permutaciones y veas que coincide con las que supongo conoces para una matriz \( 2\times 2 \) y \( 3\times 3 \).
