[conchivgr]

Hola.

En un espacio topológico \( X \), dados dos subconjuntos \( A \) y \( B \), en general no es cierto que:

(siendo Fr la frontera, Adh la adherencia e Int el interior).

1.- \( Int(A)\cup{Int(B)}=Int(A\cup{B}) \)

2.- \( Int(Fr(A))=\emptyset \)

La primera ni siquiera ocurre en \( \mathbb{R}^n \). Como contraejemplo, tenemos que si

\( A=(0,1) \) y B=\( (1,2) \)

Tenemos que

\( Int(A)\cup{Int(B)}=(0,1)\cup{(1,2)}\neq{(0,2)}=Int(A\cup{B}) \)

Sin embargo, la propiedad 2 si se cumple en \( \mathbb{R}^n \).

Un contraejemplo de que en general esto no es así, sería tomando la topología discreta en \( R \), donde cualquier subconjunto es abierto.

Entonces, tomando \( A=[0,1] \), tenemos que \( Fr(A)=Adh(\mathbb{R}-A)-Adh(A) \), es decir, \( Fr(A)=[0,1] \)

por lo que \( Int(Fr(A))=[0,1]\neq{\emptyset} \).

¿Sería esta segunda parte correcta?.

Besos.

[Luis Fuentes]

Hola

1.- \( Int(A)\cup{Int(B)}=Int(A\cup{B}) \)

2.- \( Int(Fr(A))=\emptyset \)

La primera ni siquiera ocurre en \( \mathbb{R}^n \). Como contraejemplo, tenemos que si

\( A=(0,1) \) y B=\( (1,2) \)

Tenemos que

\( Int(A)\cup{Int(B)}=(0,1)\cup{(1,2)}\neq{(0,2)}=Int(A\cup{B}) \)

No.

\( Int(A\cup B)=(0,1)\cup (1,2) \)

Para un contraejemplo correcto podrías tomar por ejemplo \( A=(0,1] \) y \( B=(1,2). \)

Sin embargo, la propiedad 2 si se cumple en \( \mathbb{R}^n \).

No. Por ejemplo toma \( A=\mathbb{Q} \).

Un contraejemplo de que en general esto no es así, sería tomando la topología discreta en \( R \), donde cualquier subconjunto es abierto.

Entonces, tomando \( A=[0,1] \), tenemos que \( Fr(A)=Adh(\mathbb{R}-A)-Adh(A) \), es decir, \( Fr(A)=[0,1] \)

No. En realidad:

\( Fr(A)=Adh(\mathbb{R}-A)\color{red}\cap\color{black}Adh(A)=(\mathbb{R}-[0,1])\cap [0,1]=\emptyset \)

Así que ese ejemplo no es contraejemplo.

Saludos.

[conchivgr]

Hola.
Pues si me he lucido con este post.
Por favor, algún contraejemplo de la propiedad 2, con una topología distinta a la usual?.
Besos.

[geómetracat]

Hola.
Pues si me he lucido con este post.
Por favor, algún contraejemplo de la propiedad 2, con una topología distinta a la usual?.
Besos.

¿No te gusta el contraejemplo de Luis? Es un ejemplo muy natural.
Aquí tienes otro sin la topología usual: considera \( \Bbb R \) con la topología de los complementos finitos (los cerrados son exactamente los subconjuntos finitos de \( \Bbb R \), y todo \( \Bbb R \)). Sea \( A \) cualquier subconjunto infinito de \( \Bbb R \) con complemento también infinito, por ejemplo, \( A = \Bbb Z \). Entonces, \( Fr(A) = \color{red}\Bbb R \), luego \( Int(Fr(A)) = \color{red}\Bbb R \).
Por cierto, observa que aquí \( \Bbb R \) no juega ningún papel especial, puedes tomar cualquier conjunto infinito con la topología de los complementos finitos y el contraejemplo funciona igual.

Corregido. Gracias, conchivgr.

[Luis Fuentes]

Hola

Pues si me he lucido con este post.
Por favor, algún contraejemplo de la propiedad 2, con una topología distinta a la usual?.
Besos.

Pues por ejemplo la topología trivial (los únicos abiertos el vacío y el total) y \( A \) cualquier conjunto que no sea ni el vacío ni el total.

Saludos.

P.D. Se adelantó geómetracat.

[conchivgr]

Hola.
Muchísimas gracias por las respuestas.
Si, me gusta el ejemplo de Luis  . Pero por practicar otra topología.
Besos.

[conchivgr]

Hola.

En el ejemplo que has puesto con la topología de los complementos finitos en \( \mathbb{R} \), dices que si \( A=\mathbb{Z} \), entonces \( Fr(A)=A \).
No será \( Fr(A)=\mathbb{R} \)?.

Los abiertos en esta topología son los que tienen la forma todo \( R \) menos un conjunto finito de puntos. No puede haber conjuntos de esta forma incluidos en los enteros, por lo que \( Int(A)=\emptyset \).

No se si será correcto.

Besos.

[geómetracat]

Sí, tienes razón. Lo escribí mal. Ahora lo corrijo, gracias.

[conchivgr]

Hola.

Gracias a ti siempre.

Besos.