[megasaw]

Buenas noches/días, tengo estos dos ejercicios los cuales mi profesor nunca dio ejemplos de como resolverlos y los que veo en internet no me ayudan o son muy fáciles de resolver, dice así:
Hallar la curvatura de las curvas que se definen mediante las siguientes funciones:
 a) \(  y=acosh(\frac{x}{a})  \)
 b) \(  y^2=2px  \)
 c) \(  \overrightarrow{F}(t)=(a(t-sent), a(1-cost))  \)

Entiendo que hay una fórmula para hallar curvaturas basada en derivadas pero no consigo hacer que coincidan mis respuestas con las del libro, y la teoría sólo me confunde, podrían ayudarme?

[ciberalfil]

Hallar la curvatura de una curva es solo un ejercicio de aplicar la formula a las ecuaciones de las curvas planteadas, no tiene dificultad alguna, se aplica la fórmula y ya. Puedo ayudarte resolviendo directamente el problema o tratando de aclarar los conceptos que no entiendes. Me parece mas efectiva la segunda, pero para poder hacerlo necesito que me expliques que cosas no entiendes, con solo el enunciado del problema solo puedo ayudarte resolviendo el problema y eso no lo voy a hacer de momento.

Aclárame pues que es lo que no entiendes de la teoría y procuraré ayudarte a entenderla.

Para resolver los problemas basta con derivar dos veces el vector de posición, expresado en función del arco de curva tomado a partir de un punto dado, \( \vec r(s) \), y hallar el módulo del vector resultante:

\( C={\left \|\displaystyle\frac{d^2\vec r}{ds^2}\right \|} \)

Ocurre que como el vector de posición de la curva no viene expresado habitualmente en función del arco recorrido, para realizar esta derivada dos veces hay que usar algunos trucos, pero una vez vistos los trucos es un problema sencillo que no tiene dificultad.

1º).- El primer truco es para obtener la primera derivada, puesto que el módulo de \( d\vec r \) es precisamente \( ds \), para obtener la primera derivada basta con dividir el vector \( d\vec r \) por su modulo:

\( \vec u_t=\displaystyle\frac{d\vec r}{ds}=\displaystyle\frac{d\vec r}{\| d\vec r \|} \)

expresión que coincide precisamente con el vector unitario tangente a la curva.

2º).- El segundo truco, que sirve para obtener la segunda derivada, te lo expondré cuando contestes a este mensaje, aclarando que cosas no entiendes de la teoría:

\( \displaystyle\frac{d\vec u_t}{ds}={\displaystyle\frac{d^2\vec r}{ds^2}} \)

Salu2

[megasaw]

Hallar la curvatura de una curva es solo un ejercicio de aplicar la formula a las ecuaciones de las curvas planteadas, no tiene dificultad alguna, se aplica la fórmula y ya. Puedo ayudarte resolviendo directamente el problema o tratando de aclarar los conceptos que no entiendes. Me parece mas efectiva la segunda, pero para poder hacerlo necesito que me expliques que cosas no entiendes, con solo el enunciado del problema solo puedo ayudarte resolviendo el problema y eso no lo voy a hacer de momento.

Aclárame pues que es lo que no entiendes de la teoría y procuraré ayudarte a entenderla.

Para resolver los problemas basta con derivar dos veces el vector de posición, expresado en función del arco de curva tomado a partir de un punto dado, \( \vec r(s) \), y hallar el módulo del vector resultante:

\( C={\left \|\displaystyle\frac{d^2\vec r}{ds^2}\right \|} \)

Ocurre que como el vector de posición de la curva no viene expresado habitualmente en función del arco recorrido, para realizar esta derivada dos veces hay que usar algunos trucos, pero una vez vistos los trucos es un problema sencillo que no tiene dificultad.

1º).- El primer truco es para obtener la primera derivada, puesto que el módulo de \( d\vec r \) es precisamente \( ds \), para obtener la primera derivada basta con dividir el vector \( d\vec r \) por su modulo:

\( \vec u_t=\displaystyle\frac{d\vec r}{ds}=\displaystyle\frac{d\vec r}{\| d\vec r \|} \)

expresión que coincide precisamente con el vector unitario tangente a la curva.

2º).- El segundo truco, que sirve para obtener la segunda derivada, te lo expondré cuando contestes a este mensaje, aclarando que cosas no entiendes de la teoría:

\( \displaystyle\frac{d\vec u_t}{ds}={\displaystyle\frac{d^2\vec r}{ds^2}} \)

Salu2

Lo que no sé es cómo identificar si está una función está expresada en función del arco de curva, si es o no derivable dos veces y qué pasa si al derivar vuelvo a la misma función y no obtengo la respuesta deseada, además no me queda claro el por qué de esta fórmula:

\( C={\left \|\displaystyle\frac{d^2\vec r}{ds^2}\right \|} \)

Los valores salen solo al derivar?

[ciberalfil]

Vamos a ver, no parece que hayas entendido mi respuesta. El radiovector de cada curva, en general \( \vec r \), debería poder expresarse en función del arco de curva tomado a partir de un punto determinado, es decir sería lo mismo que hallar las ecuaciones paramétricas de las curvas utilizando como parámetro dicho arco, \( s \). Eso en teoría puede hacerse siempre. Una vez hecho eso, bastaría derivar dicho vector dos veces respecto del parámetro \( s \), y hallar el módulo del vector resultante, obteniendo así la curvatura buscada. Ahora bien ese es el procedimiento teórico, pero como ya te dije existen dos trucos para obtener la segunda derivada que queremos. El primero ya te lo expuse, porque resulta que la primera derivada no es mas que el vector tangente unitario a la curva:

\( \vec u_t=\displaystyle\frac{d\vec r}{ds}=\displaystyle\frac{d\vec r}{\|d\vec r \|} \)

lo que nos simplifica considerablemente realizar el primer paso de la solución, que es hallar la primera derivada. Resolveré ahora este paso para la primera curva de tu ejercicio:

\( y=aCh(x/a) \Rightarrow{} \vec r=(x, aCh(x/a))\Rightarrow{}d\vec r=(1,Sh(x/a))dx\Rightarrow{}\vec u_t=\displaystyle\frac{(1,Sh(x/a))}{Ch(x/a)} \)

luego ya tenemos el primer paso de la solución resuelto.

Necesitamos ahora realizar el segundo paso, que sería obtener la derivada segunda, o lo que es igual la derivada de \( \vec u_t \) respecto de \( s \), pero la relación que existe entre ambas funciones no la conocemos porque \( \vec u_t \) está expresado en función del parámetro \( x \) y no del parámetro \( s \), me sigues?

Ahora es cuando aparece en escena el segundo truco, porque podemos escribir lo siguiente:

\( \displaystyle\frac{d\vec u_t}{ds}=\displaystyle\frac{d\vec u_t}{dx}\displaystyle\frac{dx}{ds}=\displaystyle\frac{d\vec u_t}{dx}:\displaystyle\frac{ds}{dx}=\displaystyle\frac{d\vec u_t}{dx}:\displaystyle\frac{\|d\vec r\|}{dx} \)

que es el cociente entre dos derivadas muy fáciles de hallar. El resultado de esta operación vuelve a ser un vector, bueno pues su módulo es la curvatura buscada.

Lo dejo aquí porque el ejercicio esta ya casi hecho, al menos en el caso de la primera curva. Prueba a ver si puedes terminarlo. Las otras dos curvas se hacen mediante procedimiento análogo, siguiendo los mismos criterios, aunque hay algunas pequeñas diferencias.

Salu2

[megasaw]

Vamos a ver, no parece que hayas entendido mi respuesta. El radiovector de cada curva, en general \( \vec r \), debería poder expresarse en función del arco de curva tomado a partir de un punto determinado, es decir sería lo mismo que hallar las ecuaciones paramétricas de las curvas utilizando como parámetro dicho arco, \( s \). Eso en teoría puede hacerse siempre. Una vez hecho eso, bastaría derivar dicho vector dos veces respecto del parámetro \( s \), y hallar el módulo del vector resultante, obteniendo así la curvatura buscada. Ahora bien ese es el procedimiento teórico, pero como ya te dije existen dos trucos para obtener la segunda derivada que queremos. El primero ya te lo expuse, porque resulta que la primera derivada no es mas que el vector tangente unitario a la curva:

\( \vec u_t=\displaystyle\frac{d\vec r}{ds}=\displaystyle\frac{d\vec r}{\|d\vec r \|} \)

lo que nos simplifica considerablemente realizar el primer paso de la solución, que es hallar la primera derivada. Resolveré ahora este paso para la primera curva de tu ejercicio:

\( y=aCh(x/a) \Rightarrow{} \vec r=(x, aCh(x/a))\Rightarrow{}d\vec r=(1,Sh(x/a))dx\Rightarrow{}\vec u_t=\displaystyle\frac{(1,Sh(x/a))}{Ch(x/a)} \)

luego ya tenemos el primer paso de la solución resuelto.

Necesitamos ahora realizar el segundo paso, que sería obtener la derivada segunda, o lo que es igual la derivada de \( \vec u_t \) respecto de \( s \), pero la relación que existe entre ambas funciones no la conocemos porque \( \vec u_t \) está expresado en función del parámetro \( x \) y no del parámetro \( s \), me sigues?

Ahora es cuando aparece en escena el segundo truco, porque podemos escribir lo siguiente:

\( \displaystyle\frac{d\vec u_t}{ds}=\displaystyle\frac{d\vec u_t}{dx}\displaystyle\frac{dx}{ds}=\displaystyle\frac{d\vec u_t}{dx}:\displaystyle\frac{ds}{dx}=\displaystyle\frac{d\vec u_t}{dx}:\displaystyle\frac{\|d\vec r\|}{dx} \)

que es el cociente entre dos derivadas muy fáciles de hallar. El resultado de esta operación vuelve a ser un vector, bueno pues su módulo es la curvatura buscada.

Lo dejo aquí porque el ejercicio esta ya casi hecho, al menos en el caso de la primera curva. Prueba a ver si puedes terminarlo. Las otras dos curvas se hacen mediante procedimiento análogo, siguiendo los mismos criterios, aunque hay algunas pequeñas diferencias.

Salu2

Es la división de esas dos derivadas?

\(  \displaystyle\frac{d\vec u_t}{dx}:\displaystyle\frac{\|d\vec r\|}{dx} \)

Si es así, probaré a resolverlas, comentaré cualquier problema.

[ciberalfil]

Si, efectivamente, es el cociente de las dos derivadas.

[megasaw]

Si, efectivamente, es el cociente de las dos derivadas.

No sé si me he equivocado en algún paso pero mi respuesta no coincide con la respuesta del libro 😕
Obtuve que la curvatura es
\(  \frac{1}{senh{\frac{x}{a}}cosh{\frac{x}{a}}} \)

Y el libro dice que la respuesta es
\(  \frac{a}{y^2}  \)

Puedes revisarlo?

[ciberalfil]

Si puedo, pero ahora no, estoy bastante ocupado, a ver si alguien puede y si no cuando me deslíe lo intento.

Salu2

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas noches/días, tengo estos dos ejercicios los cuales mi profesor nunca dio ejemplos de como resolverlos y los que veo en internet no me ayudan o son muy fáciles de resolver, dice así:
Hallar la curvatura de las curvas que se definen mediante las siguientes funciones:
 a) \(  y=acosh(\frac{x}{a})  \)
 b) \(  y^2=2px  \)
 c) \(  \overrightarrow{F}(t)=(a(t-sent), a(1-cost))  \)

Entiendo que hay una fórmula para hallar curvaturas basada en derivadas pero no consigo hacer que coincidan mis respuestas con las del libro, y la teoría sólo me confunde, podrían ayudarme?

En general si tienes una curva plana parametrizada por una parámetro cualquiera como:

\( \alpha(t)=(x(t),y(t)) \)

la curvatura viene dada por:

\( \kappa(t)=\dfrac{det(\alpha'(t),\alpha''(t))}{\|\alpha'(t)\|^3} \)

En el caso particular de que venga dada como \( y=f(x) \) la curvatura puede hallarse como:

\( \kappa(x)=\dfrac{f''(x)}{\sqrt{1+f'(x)}^3} \)

En tu primer ejemplo:

\(  f(x)=a\cdot cosh(x/a) \)
\( f'(x)=sinh(x/a) \)
\( f''(x)=cosh(x/a)/a \)

\( \sqrt{1+f'(x)^2}=\sqrt{1+sinh^2(x/a)}=cosh(x/a) \)

\( \kappa(x)=\dfrac{cosh(x/a)/a}{cosh^3(x/a)}=\dfrac{a}{a^2cosh^2(x/a)}=\dfrac{a}{f(x)^2} \)

Saludos.

P.D. Te puede interesar este documento:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/curvatura/curvatura.pdf

[ciberalfil]

Respecto a la pregunta que me has hecho, sobre la fórmula:

\( C={\left \|\displaystyle\frac{d^2\vec r}{ds^2}\right \|} \)

dicha fórmula solo hace que representar el módulo del vector de curvatura, si buscas en internet por vector de curvatura encontrarás que dicho vector se calcula precisamente como:

\( \displaystyle\frac{d^2\vec r}{ds^2} \)

y también encontrarás sus propiedades. Ahí te aclararán el porque de esa fórmula.
Por ejemplo aquí:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/curvatura/curvatura.pdf

Esta definición de curvatura es, en mi opinión, la mas intuitiva, y aunque no es la única es la más útil para entender el concepto, que es de lo que se trata aquí, creo yo. Todas las demás fórmulas se pueden deducir con cierta facilidad de ésta.

Salu2