Hola.
Se considera \( \mathbb{R} \) con la topología usual y la relación de equivalencia en \( \mathbb{R} \) dada por
\( x\sim{y}\Longleftrightarrow{x-y\in{\mathbb{Z}}} \)
Las clases de equivalencia son \( \left\{{x}\right\}+\mathbb{Z} \).
Esta última afirmación no la entiendo bien.
Es decir, si empezamos desde \( 0 \), tenemos que \( 0 \) y \( 1 \) están en la misma clase de equivalencia, que \( 0.1 \) y \( 1.1 \) están en otra clase de equivalencia distinta, \( 0.2 \) y \( 1.2 \) en otra, y así sucesivamente.
Seguimos, y tenemos que \( 1.1 \) está en la misma clase de equivalencia que \( 2.1 \), pero también en la misma que \( 0.1 \), es decir, los tres "son el mismo punto".
Por lo tanto, según avanzamos en la recta real, vamos "pegando" los puntos a los puntos del intervalo \( [0,1) \), "enrollando" los intervalos de longitud \( 1 \) en una circunferencia, "una encima de otra".
Sin embargo, cuando dice que las clases de equivalencia son \( \left\{{x}\right\}+\mathbb{Z} \), entiendo que \( 0.1+4 \) es una clase de equivalencia distinta a \( 0.1+5 \), cosa que no es cierta, ya que \( 0.1+4 \) y \( 0.1+5 \) están en la misma clase de equivalencia.
¿Qué estoy interprentando mal?.
Besos.
