[R_Gauss]

Hola a todos,
Necesito demostrar lo siguiente:
Sea \( B \) un conjunto y \( b \) un elemento de ese conjunto. Definimos \( T_b \) como el conjunto de todas las permutaciones de \( B \) con la propiedad de que \( \sigma(b)=b \) (un elemento fijo). Pruebe que \( T_b \) es un subgrupo de \( S_B \)




Tenemos que \( S_B \) es un grupo de permutación. ¿Debemos ver que \(  b  \) sea un elemento de \( S_B \)?

¿Cómo podría demostrar esa afirmación?

Agradezco sus colaboraciones,
Saludos,

[feriva]

Agradezco sus colaboraciones,
Saludos,

Yo no sé, pero quizá te pueda ayudar (hablo de oído totalmente) ver un ejemplo muy sencillo; por caso, permutaciones de tres elementos con la transposición más simple que veas, pongamos (1,2)

\( (1,2,3)\circ(1,2)=(2,1,3)
  \)

\( (1,3,2)\circ(1,2)=(3,1,2)
  \)

etc.

Imagino que ese sigma quiere decir “ciclo”.

Huy, perdón, que ese ejemplo no vale, un ciclo no lo deja invariante, tiene que ser una composición de ciclos; sí valdría porque es un número sólo el que se queda fijo, me había despistado

(pero no sé si se trata de esto, es una cosa que estudié por encima hace mucho porque tiene relación con cierta forma de composición musical, lo mismo no tiene nada que ver con lo que te piden; en ese caso no me hagas caso y ya está).

Saludos.

[geómetracat]

Tienes que comprobar que \( T_b \) cumple la definición de subgrupo.
1. Es no vacío (la permutación identidad cumple \( id(b) = b \)).
2. Es cerrado por la multiplicación de \( S_b \), que es la composición de permutaciones (si \( \sigma , \tau \in T_b \), entonces \( \sigma(b) = b, \tau(b) =b \) luego \( \sigma \tau(b) = \sigma(b)= b \), así que \( \sigma \tau \in T_b \)).
3. Es cerrado para inversos (si \( \sigma \in T_b \) entonces \( \sigma(b) = b \), luego \( \sigma^{-1}(b)=b \) y así \( \sigma^{-1} \in T_b \)).

También puedes ir más rápido probando en vez de 2 y 3, la propiedad siguiente:
Si \( \sigma, \tau \in T_b \), entonces \( \sigma \tau^{-1} \in T_b \).

Feriva, \( \sigma \) ahí quiere decir permutación, que es el grupo de todas las biyecciones del conjunto \( B \) en sí mismo, con la composición de aplicaciones como producto.
Un ciclo es un caso especial de permutación: son aquellas para las que existen \( b_1, \dots, b_k \) tales que \( \sigma(b_1)= b_2, \sigma(b_2)=b_3, \dots, \sigma(b_k)=b_1 \) y deja todos los demás elementos de \( B \) fijos.

[feriva]

Feriva, \( \sigma \) ahí quiere decir permutación, que es el grupo de todas las biyecciones del conjunto \( B \) en sí mismo, con la composición de aplicaciones como producto.
Un ciclo es un caso especial de permutación: son aquellas para las que existen \( b_1, \dots, b_k \) tales que \( \sigma(b_1)= b_2, \sigma(b_2)=b_3, \dots, \sigma(b_k)=b_1 \) y deja todos los demás elementos de \( B \) fijos.

Gracias, Geómetracat.

Saludos.

[R_Gauss]

Hola, les agradezco sus respuestas.

Tienes que comprobar que \( T_b \) cumple la definición de subgrupo.
1. Es no vacío (la permutación identidad cumple \( id(b) = b \)).
2. Es cerrado por la multiplicación de \( S_b \), que es la composición de permutaciones (si \( \sigma , \tau \in T_b \), entonces \( \sigma(b) = b, \tau(b) =b \) luego \( \sigma \tau(b) = \sigma(b)= b \), así que \( \sigma \tau \in T_b \)).
3. Es cerrado para inversos (si \( \sigma \in T_b \) entonces \( \sigma(b) = b \), luego \( \sigma^{-1}(b)=b \) y así \( \sigma^{-1} \in T_b \)).

También puedes ir más rápido probando en vez de 2 y 3, la propiedad siguiente:
Si \( \sigma, \tau \in T_b \), entonces \( \sigma \tau^{-1} \in T_b \).

Feriva, \( \sigma \) ahí quiere decir permutación, que es el grupo de todas las biyecciones del conjunto \( B \) en sí mismo, con la composición de aplicaciones como producto.
Un ciclo es un caso especial de permutación: son aquellas para las que existen \( b_1, \dots, b_k \) tales que \( \sigma(b_1)= b_2, \sigma(b_2)=b_3, \dots, \sigma(b_k)=b_1 \) y deja todos los demás elementos de \( B \) fijos.

Entonces si por ejemplo, yo tengo que \( H \) es un subconjunto y lo defino como:
\( H=\{\sigma \in{S_4} | \sigma(4)=4\} \) de \( S_4 \) y necesito encontrar todos los elementos de \( H \), ¿tomo todos los de orden cuatro, dejando fijo a 4? ¿Qué significa \( \sigma(4)=4 \)? ¿Allí se podría saber si \( H \) es subconjunto de \( S_4 \)?

Saludos,

[geómetracat]

No sé si entiendo muy bien tus preguntas. El caso que planteas es un caso particular de lo demostrado antes. Concretamente, es el caso en que el conjunto \( B \) es \( \{1,2,3,4\} \). Un elemento de \( \sigma \in S_4 \) es una biyección \( \sigma: \{1,2,3,4\} \rightarrow \{1,2,3,4\} \). Entonces \( H \) es el subconjunto de \( S_4 \) formado por todas las biyecciones que cumplen \( \sigma(4)=4 \), y aplicando el resultado tienes que esto es un subgrupo de \( S_4 \).

Los elementos de \( H \) no tienen por qué tener orden 4 (de hecho ninguno lo tiene). Que tenga orden 4 quiere decir que \( \sigma^4 = id \), es decir, que si compones la biyección \( \sigma \) consigo misma 4 veces da la identidad, y que éste es el mínimo exponente con el que obtienes la identidad. Esto no tiene absolutamente nada que ver con que \( \sigma(4)=4 \).

[R_Gauss]

Según entiendo, \( \sigma(4)=4 \) es fijar el elemento cuatro y al aplicarle la función \( \sigma \) dé cuatro. Los elementos de \( H \) que cumplen eso pueden ser:

\( H=\{(1,2,3,4), (2,1,3,4),(3,2,1,4),(2,3,1,4),(3,1,2,4) \} \)  ¿Serían esos? ¿O también se incluirían elementos tales como: \( \{(1,3),(2,4)\}, \{(1,2),(3,4)\} \)... ?

Saludos, 

[feriva]

Según entiendo, \( \sigma(4)=4 \) es fijar el elemento cuatro y al aplicarle la función \( \sigma \) dé cuatro. Los elementos de \( H \) que cumplen eso pueden ser:

\( H=\{(1,2,3,4), (2,1,3,4),(3,2,1,4),(2,3,1,4),(3,1,2,4) \} \)  ¿Serían esos? ¿O también se incluirían elementos tales como: \( \{(1,3),(2,4)\}, \{(1,2),(3,4)\} \)... ?

Saludos, 

Hola. Yo entiendo que no, pero espera la respuesta de Geómetracat.

Entiendo que no porque si se dice permutaciones se dice variaciones de n en n. El enunciado nos dice que B es un conjunto y \( T_b \) es el conjunto de todas las permutaciones de B con la propiedad señalada. Si B={1,2,3,4} es el conjunto, la variación (1,2) por ejemplo, no es una permutación.

A tenor de la respuesta de Geómetracat aclaro que he entendido que cuando escribes ahí dos números entre paréntesis no te refieres a una transposición, sino a una variación tomando sólo dos elementos del conjunto B

Spoiler

Una transposición es un ciclo de 2, con un ejemplo con letras quedan menos dudas, los elemntos pueden ser cualquier cosa, números, notas musicales...

Una de las formas que yo conozco de representarlo (según el libro Álgebra Moderna de Frank Ayres así como también en los de la UNED) es la que ponía en la primera repuesta, con un circulito

\( (a,b,c,d)\circ(1,2)=(b,a,c,d)
  \)

Cambia el primero de la izquierda por el segundo. Con números, análogamente, sería \( (1,2,3,4)\circ(1,2)=(2,1,3,4)
  \).

Un cico de tres, por ejemplo, sería \( (1,2,3,4)\circ(1,2,3)=(2,3,1,4)
  \); se lee así: el ciclo es (1,2,3), o sea, el primero cambia por el segundo, el segundo cambia por el tercero y el tercero por el primero (vuelve a la cabeza). Y el cuarto no cambia porque en el ciclo no aparece indicación sobre él.

Otro ejemplo

\( (pesa)\circ(1,3)=(sepa)
  \)

el primero cambia por el tercero y los demás no cambian

Entonces, si lo que quieres decir con (1,2) es una transposición y si suponemos que el conjunto B, en total, tuviera cuatro elementos, eso no quiere decir dos elementos, quiere decir cuatro, donde se consideraría o sobreentendería una posición inicial conocida, como la del orden natural, (1,2,3,4); si no, no se sabe qué permutación es.

[cerrar]

Saludos

[geómetracat]

Tu notación no parece muy estándar. Si por \( (2,1,3,4) \) te refieres a la aplicación \( \sigma: {1,2,3,4} \rightarrow \{1,2,3,4\} \) que cumple \( \sigma(1)=2, \sigma(2)=1, \sigma(3)=3, \sigma(4)=4 \), entonces sería
\( H = \{(1,2,3,4), (1,3,2,4), (2,1,3,4), (2,3,1,4), (3,1,2,4), (3,2,1,4) \} \).
Pero ten en cuenta que normalmente la notación \( (1,2,3,4) \) denota un ciclo (la permutación que manda cada número al siguiente y el último al primero), así que la notación que usas no es muy estándar.
No entiendo muy bien a qué te refieres con \( \{(1,3),(2,4)\} \).

Fíjate también que hay una biyección entre \( H \) y \( S_3 \). En efecto, las permutaciones de 4 elementos que fijan uno se corresponden con las permutaciones de los otros tres elementos.

[R_Gauss]

Hola,

No entiendo muy bien a qué te refieres con \( \{(1,3),(2,4)\} \).

Me refiero a tener en el subconjunto \( H \) elementos de la forma \( \left<{(13)(24)}\right> \) o elementos como: \( \left<{(234)}\right> \)

Aunque ya me solucionaste la duda sobre los elementos del subconjunto antes mencionado.

Saludos,