[natydlv]

Hola compañeros! de nuevo tengo problemas con un ejercicio de elipse.

la ecuación es \( x^2+4y^2=1 \)

por la ecuación deduzco que \( a = b = 1 \) luego quise buscar \( c \) usando la relación pitagórica \( a^2=b^2+c^2 \) (sabiendo ademas que la distancia de un foco al vértice opuesto también es \( a \)) pero obtengo que \( c = 0 \) lo cual no me coincide al cargar la ecuación en geogebra. ¿Que estaré haciendo mal?

[geómetracat]

La ecuación de una elipse centrada en el origen con semiejes \( a,b \) paralelos a los ejes de coordenadas es
\( \left( \frac{x}{a} \right)^2 +\left( \frac{y}{b} \right)^2 = 1 \).
En tu caso, puedes identificar \( a=1, b = 1/2 \). De aquí ya puedes seguir.

[natydlv]

Gracias por la ayuda. Aunque no me es claro el procedimiento por el cual se obtiene que \( b=\displaystyle\frac{1}{2} \)

[Juan Pablo Sancho]

Como  te indica geómetracat la ecuación es:
\( x^2 + 4 \cdot y^2 = 1 = (\dfrac{x}{a})^2 + (\dfrac{y}{b})^2  \)
\( 4 \cdot y^2 = \dfrac{y^2}{\frac{1}{4}} = (\dfrac{y}{\frac{1}{2}})^2  \)

[natydlv]

Pero si en ves de un \( 4 \) hubiera tenido un numero que no es tan fácil de obtener... por ejemplo \( 2y \)?

[geómetracat]

Pues igual. El coeficiente de \( y^2 \) en la ecuación general es \( 1/b^2 \). Si tienes \( 4y^2 \) solamente tienes que igualar \( 1/b^2 = 4 \) de donde \( b = 1/2 \).
Si tuvieras \( 2y^2 \), sería \( 1/b^2 = 2 \) de donde \( b = 1/\sqrt{2}  \).