Autor Tema: Formalizar "Hay exactamente un número par menor que tres"

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12 Abril, 2019, 11:06 pm
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noisok

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Considerando P, "x es par";  <,"x es menor que y".

En cierto libro se dice que "Hay exactamente un número par menor que tres" es la conjuncion de las sentencias 1 y 2.:

1) "Hay por lo menos un número par menor que tres"
\( \exists x(Px \wedge x<3) \)
2) "Hay a lo sumo un número par menor que tres"
\( \forall xy (Px \wedge Py \wedge x<3 \wedge y<3 \rightarrow{} x=y) \)

3) "Hay exactamente un número par menor que tres"
\( \exists x(Px \wedge x<3) \wedge \forall xy (Px \wedge Py \wedge x<3 \wedge y<3 \rightarrow{} x=y) \)

Lo que yo no entiendo es por qué la sentencia 2 no es equivalente a  la 3, y en caso de serlo ¿cual de las dos seria la formalización correcta?

Bien, supongo que "Hay a lo sumo..." no implica la existencia.

12 Abril, 2019, 11:32 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Pues yo lo que veo mal es la 1. Debería ser:
\( \exists x (Px \wedge x <3) \)
La que pone ahí es equivalente a "Hay un número que no es par o hay un número menor que 3".

Sobre 2 y 3: 2 dice "si hay dos números pares menores que 3, entonces son iguales", que es lo mismo que "hay como mucho un número par menor que 3" (puede haber uno, o puede no haber ninguno).
3 es la conjunción de 1 y 2, por tanto (suponiendo que la formalización de 1 fuera correcta) dice "hay un número par menor que tres y a lo sumo hay uno", que es lo mismo que decir "hay exactamente un número par menor que 3".
2 y 3 no son equivalentes, ni tienen que serlo: 2 dice que hay 0 o 1 número que cumplen lo pedido, 3 dice que hay justamente 1 número que lo cumple.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

12 Abril, 2019, 11:35 pm
Respuesta #2

noisok

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Pues yo lo que veo mal es la 1. Debería ser:
\( \exists x (Px \wedge x <3) \)

Arreglado. Ha sido un error mio.

Respecto a lo otro, logicamente dice lo que tu estas diciendo. Pero la cuestion es si uno al leer la sentencia "Hay a a lo sumo.." ¿uno entenderia o deberia interpretar que hay tal numero, en cuyo caso sería equivalente a 3?

12 Abril, 2019, 11:51 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Cuando se dice "Hay a lo sumo \( n \) elementos que cumplen tal" se entiende que no hay más de \( n \), pero puede pasar perfectamente que no haya ninguno.
En cualquier caso es una cuestión lingüística, no matemática ni lógica. Si entiendes la diferencia de lo que expresan las fórmulas 2 y 3 lo estás entendiendo todo bien.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

13 Abril, 2019, 12:46 am
Respuesta #4

feriva

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Considerando P, "x es par";  <,"x es menor que y".

En cierto libro se dice que "Hay exactamente un número par menor que tres"


Hola.

Pero eso del libro es una complicación, "hay exactamente un elemento" tiene su forma de escribirse

\( \exists!2x\in\mathbb{N}^{{\color{blue}*}}(2x<3)
  \)

Saludos.

13 Abril, 2019, 09:17 am
Respuesta #5

geómetracat

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Hola.

Pero eso del libro es una complicación, "hay exactamente un elemento" tiene su forma de escribirse

\( \exists!2x\in\mathbb{N}^{{\color{blue}*}}(2x<3)
  \)

Saludos.
No es una complicación. En lógica de primer orden formalmente no existe \( \exists! \), se usa únicamente como abreviatura. Es decir, \( \exists!x \phi(x) \) es una abreviatura de la fórmula
\( \exists x \phi(x) \wedge \forall x \forall y (\phi(x) \wedge \phi(y) \rightarrow x=y) \).
Por otro lado, formalmente se puede cuantificar únicamente sobre variables, no está bien escribir \( \exists 2x (2x <3) \), sino que debería ser \( \exists x (2x<3) \) (aunque en un contexto informal o semiformal todo el mundo va a entender qué quieres decir con lo que has escrito).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

13 Abril, 2019, 09:34 am
Respuesta #6

feriva

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Hola.

Pero eso del libro es una complicación, "hay exactamente un elemento" tiene su forma de escribirse

\( \exists!2x\in\mathbb{N}^{{\color{blue}*}}(2x<3)
  \)

Saludos.
No es una complicación. En lógica de primer orden formalmente no existe \( \exists! \), se usa únicamente como abreviatura. Es decir, \( \exists!x \phi(x) \) es una abreviatura de la fórmula
\( \exists x \phi(x) \wedge \forall x \forall y (\phi(x) \wedge \phi(y) \rightarrow x=y) \).
Por otro lado, formalmente se puede cuantificar únicamente sobre variables, no está bien escribir \( \exists 2x (2x <3) \), sino que debería ser \( \exists x (2x<3) \) (aunque en un contexto informal o semiformal todo el mundo va a entender qué quieres decir con lo que has escrito).

Ah, no sabía eso. Muchas gracias, Geómetracat.

Saludos.