Hola
Perdón por la notación, no se como poner las llaves grandes
\( f(x)=\begin{cases}{ x}&\text{si}& x<-1\\x^3 & \text{si}& -1\leq x<1\\2x-1 & \text{si}& x\geq 1\end{cases} \)
\( g(x)=\begin{cases} -x^2+1 & \text{si}& x<0\\x^2-1 & \text{si}& x\geq 0\end{cases} \)
\( (f\circ g)=f(g(x))= \)
Tinees que analizar cuando \( g(x) \) está en cada uno de los tres trozos en que se divide el dominio de \( f(x) \), es decir:
1- Hallar los \( x \) tales que \( g(x)<-1 \).
2- Hallar los \( x \) tales que \( -1\leq g(x)<1 \)
3- Hallar los \( x \) tales que \( g(x)\geq 1 \).
1- Hallar los \( x \) tales que \( g(x)<-1 \).
1.1 Cuando \( x<0 \) equivale a resolver \( -x^2+1<-1 \) es decir \( x^2>2 \), es decir \( x<-\sqrt{2} \).
1.1 Cuando \( x\geq 0 \) equivale a resolver \( x^2-1<-1 \) es decir \( x^2<0 \). Pero esto no se da nunca si \( x\geq 0 \).
2- Hallar los \( x \) tales que \( -1\leq g(x)<1 \)
2.1 Cuando \( x<0 \) equivale a resolver \( -1\leq -x^2+1<1 \) es decir \( 0<x^2\leq 2 \), es decir \( -\sqrt{2}\leq x<0 \).
2.2 Cuando \( x\geq 0 \) equivale a resolver \( -1\leq x^2-1<1 \) es decir \( 0\leq x^2<2 \), esto es, \( 0\leq x\leq \sqrt{2}. \)
3- Inténtalo tu.
La conclusión de eso esto que:
- Si \( x<-\sqrt{2} \), entonces:
\( f(g(x))=f(-x^2+1)=-x^2+1 \)
- Si \( -\sqrt{2}\leq x<0 \), entonces:
\( f(g(x))=f(-x^2+1)=(-x^2+1)^3 \)
- Si \( 0\leq x\leq \sqrt{2} \), entonces:
\( f(g(x))=f(x^2-1)=(x^2-1)^3 \)
Continúa...
Saludos.
P.D. Un gráfico de \( g(x) \) ayuda...
