Hola xxGearAntonioxx.
Esa desigualdad se llama
desigualdad triangular, y te explico porqué.
En palabras, dice que la distancia de ir de \( x \) a \( y \) es menor o igual que ir primero de \( x \) a \( z \) y luego de \( z \) a \( y \), o sea, la distancia más corta para ir de \( x \) a \( y \) es ir por la recta que los une.
En la figura se forman dos triángulos rectángulos, y \( d(x,z) \) y \( d(y,z) \) son las hipotenusas de estos triángulos, y como la medida de la hipotenusa es mayor que la de los catetos... Nota que en este caso la desigualdad es estricta.
Habría que ver los demás casos, qué pasa si \( z \) es colineal a \( x \) e \( y \) (y está entre los dos puntos), y cuando \( z \) es colineal a \( x \) e \( y \) pero no está entre los dos puntos, pero son igual de sencillos de ver.
Cuando veas producto interior y normas verás una demostración más fina. Pero si no has visto eso, creo que con esta justifiación es suficiente.
P.S. Edité las ecuaciones de tu mensaje para que se vean bien.
