[natydlv]

Hola compañeros, acá les comparto otro ejercicio que no estoy pudiendo completar

Encontrar ecuación de elipse que pasa por \( (2+\sqrt{3};4) \) y \( (3;3+\sqrt{2}) \)

Avances:

ecuación 1:  \( b^2\cdot{{(2+\sqrt[ ]{3})}}^2+a^2\cdot{4^2}=a^2\cdot{b^2} \)
ecuación 2:  \( 3^2\cdot{b^2}+a^2\cdot{{(3+\sqrt[ ]{2})}}^2=a^2\cdot{b^2} \)

igualo 1 y 2:

\( 7b^2+4\sqrt[ ]{3}\cdot{b^2}+16\cdot{a^2}=9\cdot{b^2}+11\cdot{a^2}+a^2\cdot{4\sqrt[ ]{2}} \)

\( a^2=\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-4\sqrt[ ]{2}} \)

luego sustituyo \( a^2 \) en la ecuación 1:

\( a^2\cdot{b^2}=b^2\cdot{{(2+\sqrt[ ]{3})}^2}+4^2\cdot{(\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-4\sqrt[ ]{2}})} \)

[Masacroso]

Y te digo yo que por dos puntos pasan infinitas elipses, al igual que pasan infinitas circunferencias. ¿Quizá la elipse deba estar centrada en el cero?

[natydlv]

  Hola Masacroso, pero eso no esta aclarado en el titulo?

[Masacroso]

Hola Masacroso, pero eso no esta aclarado en el titulo?

Sí, cierto. Cuando leo un tema suelo olvidar el título 

Si es en el origen entonces la ecuación de una elipse es \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \), donde \( a \) y \( b \) es la longitud de los semiejes (o semirradios, no me acuerdo ahora). También se puede expresar como \( b^2 x^2+a^2 y^2=(ab)^2 \), que es lo que has hecho.

Entonces te queda un sistema "lineal" (ignorando los cuadrados y despejando para \( a^2 \) y \( b^2 \)) de dos ecuaciones con dos incógnitas. Todo eso ya lo has hecho, así que ya casi lo tienes.

En la sustitución, al final de todo, te has dejado un término \( a^2 \) a la izquierda sin sustituir. Sustituyes ese término \( a^2 \) y despejas el valor de \( b^2 \), y una vez eso utilizas la ecuación de sustitución \( a^2=b^2\frac{2-4\sqrt3}{5-4\sqrt2} \), que ya habías hallado previamente, para hallar el valor de \( a^2 \). Luego sólo te queda tomar la raíz positiva de ambos valores... et voilá!

[natydlv]

Me queda un numero horroroso. Lo voy a ir subiendo paso a paso 

\( b^2\cdot{(\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-4\sqrt[ ]{2}})}=b^2\cdot{{(2+\sqrt[ ]{3})}^2}+4^2\cdot{(\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-4\sqrt[ ]{2}})} \)

\( b^2\cdot{(\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-4\sqrt[ ]{2}})}=b^2\cdot{(7+4\sqrt[ ]{3})}+4^2\cdot{(\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-4\sqrt[ ]{2}})} \)

\( b^2\cdot{(\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-4\sqrt[ ]{2}})}=b^2\cdot{(7+4\sqrt[ ]{3})}+4^2\cdot{(\displaystyle\frac{2b^2-4\sqrt[ ]{3}\cdot{b^2}}{5-4\sqrt[ ]{2}})} \)

\( b^2\cdot{(\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-4\sqrt[ ]{2}})}=b^2\cdot{(7+4\sqrt[ ]{3})}+(\displaystyle\frac{32b^2-64\sqrt[ ]{3}\cdot{b^2}}{5-4\sqrt[ ]{2}}) \)

\( b^2\cdot{(\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-4\sqrt[ ]{2}})}=(7b^2+4\sqrt[ ]{3}\cdot{b^2})+(\displaystyle\frac{32b^2-64\sqrt[ ]{3}\cdot{b^2}}{5-4\sqrt[ ]{2}}) \)

\( (\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-4\sqrt[ ]{2}})={(7b^2+4\sqrt[ ]{3}\cdot{b^2}):b^2+(\displaystyle\frac{32b^2-64\sqrt[ ]{3}\cdot{b^2}}{5-4\sqrt[ ]{2}})}:b^2 \)

\( (\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-4\sqrt[ ]{2}})=7+4\sqrt[ ]{3}+\displaystyle\frac{32-64\sqrt[ ]{3}}{5-4\sqrt[ ]{2}} \)

\( (\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-4\sqrt[ ]{2}})=\displaystyle\frac{(5-4\sqrt[ ]{2})\cdot{(7+4\sqrt[ ]{3})}+32-64\sqrt[ ]{3}}{5-4\sqrt[]{2}} \)

voy bien hasta aqui?

[Masacroso]

Arreglando un poco tu primera expresión, tenemos que

\( \displaystyle {b^2\left(\frac{b^2(2-4\sqrt3)}{5-4\sqrt2}\right)=b^2(2+\sqrt3)^2+4^2\left(\frac{b^2(2-4\sqrt3)}{5-4\sqrt2}\right)\\
\iff b^4\left(\frac{2-4\sqrt3}{5-4\sqrt2}\right)=b^2\left((2+\sqrt 3)^2+16\left(\frac{2-4\sqrt3}{5-4\sqrt2}\right)\right)\\
\iff b^2=\frac{(2+\sqrt3)^2(5-4\sqrt 2)}{2-4\sqrt 3}+16\\
\iff b^2=-\frac{(2+\sqrt3)^2(5-4\sqrt 2)(2+4\sqrt3)}{44}+16\\
\iff b^2=\frac1{11}\left(45\sqrt3-197/2-36\sqrt6-62\sqrt2\right)
} \)

asumiendo que la identidad de partida, y tus cálculos anteriores, sean correctos. El último paso lo he hecho con un programa de matemáticas porque el cálculo me da bastante pereza.

Ahora, resolviendo el sistema de ecuaciones original obtengo

\( \displaystyle\begin{cases}b^2(2+\sqrt3)^2+a^216=b^2a^2\\
b^29+a^2(3+\sqrt 2)^2=b^2a^2\end{cases}\implies b^2(4+3+4\sqrt3-9)=a^2(9+2+6\sqrt2-16)\iff
b^2=a^2\frac{6\sqrt2-5}{4\sqrt3-2}
 \)

Entonces tenías un error en un 4 que en verdad es un 6. Rehaciendo los cálculos probablemente se simplifique la solución.

EDICIÓN: he hallado la solución con Wolfram Mathematica y son números monstruosos para \( a^2 \) y para \( b^2 \). Pues vaya con el ejercicio, o hay algún error por ahí que se me ha pasado por alto.

[manooooh]

Hola

Encontrar ecuación de elipse que pasa por \( (2+\sqrt{3};4) \) y \( (3;3+\sqrt{2}) \)

(...)
\( 7b^2+4\sqrt[ ]{3}\cdot{b^2}+16\cdot{a^2}=9\cdot{b^2}+11\cdot{a^2}+a^2\cdot{4\sqrt[ ]{2}} \)
(...)

El último sumando no es \( 4\sqrt2a^2 \) sino \( 6\sqrt2a^2 \) pues \( (3+\sqrt2)^2=11+2\cdot3\sqrt2=11+6\sqrt2 \).

\( a^2=\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-4\sqrt[ ]{2}} \)

Quedaría

\( a^2=\displaystyle\frac{b^2\cdot{(2-4\sqrt[ ]{3})}}{5-\color{red}6\color{black}\sqrt[ ]{2}}. \)

Entonces volviendo a \( (1) \):

\( \displaystyle b^2(2+\sqrt3)^2+16\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}b^2=\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}b^2\cdot b^2 \)

\( \displaystyle b^2\left((2+\sqrt3)^2+16\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}\right)=\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}b^4 \)

\( \displaystyle\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}b^4-\left((2+\sqrt3)^2+16\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}\right)b^2=0, \)

de donde si \( z=b^2 \) luego:

\( \displaystyle\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}z^2-\left((2+\sqrt3)^2+16\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}\right)z=0 \)

\( \displaystyle z\left(\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}z-\left((2+\sqrt3)^2+16\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}\right)\right)=0 \)

\( \displaystyle  z=0\qquad\vee\qquad\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}z-\left((2+\sqrt3)^2+16\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}\right)=0 \)

\( \displaystyle z=b^2=\left((2+\sqrt3)^2+16\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}\right)\cdot\frac{5-6\sqrt2}{2-4\sqrt3} \)

\( \displaystyle b=\sqrt{\left((2+\sqrt3)^2+16\frac{2-4\sqrt3}{5-6\sqrt2}\right)\cdot\frac{5-6\sqrt2}{2-4\sqrt3}}\approx5.084, \)

que concuerda con la cuarta solución que da WolframAlpha (las otras se descartan pues son soluciones negativas o con alternancia de signos, lo cual no puede ser pues \( a,b>0 \)).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Dos apuntes:

 1. No llega con decir que buscamos una elipse con centro el origen. Sigue habiendo infinitas. Se entiende que buscas una elipse con centro el origen y ejes paralelos a los coordenados.

 2. Las cuentas para hacer a mano no son muy bonitas por culpa de las raíces; no obstante no hay porque empeñarse en poner como incógnitas \( a,b \) que complica innecesariamente las ecuaciones.

 La ecuación de la elipse es de la forma:

\(  px^2+qy^2=1 \) (si queremos después \( a^2=1/p \) y \( b^2=1/q \)).

 Si imponemos que pase por los puntos \( (x_1,y_1) \) e \( (x_2,y_2) \) se trata de resolver el sistema:

\( px_1^2+qy_1^2=1 \)
\( px_2^2+qy_2^2=1 \)

 Que resuelto por Cramer (por ejemplo) queda:

\( p=\dfrac{y_2^2-y_1^2}{x_1^2y_2^2-x_2^2y_1^2} \)

\( q=\dfrac{x_2^2-x_1^2}{x_1^2y_2^2-x_2^2y_1^2} \)

Saludos.

[manooooh]

Hola, gracias

1. No llega con decir que buscamos una elipse con centro el origen. Sigue habiendo infinitas. Se entiende que buscas una elipse con centro el origen y ejes paralelos a los coordenados.

No lo entiendo. ¿No es que con las hipótesis del centro y dos puntos ya tenemos determinada de manera unívoca nuestra elipse?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

No lo entiendo. ¿No es que con las hipótesis del centro y dos puntos ya tenemos determinada de manera unívoca nuestra elipse?

Mueve el punto \( D \) y podrás ver elipses con centro el origen, y ejes no necesariamente paralelos a los coordeanados que pasan por los dos puntos dados.


Saludos.