[walyrodriguez]

He pensado mucho estos ejercicios pero no tengo la solución.

1. Demostrar que si la Sucesión \( (X_n) \) es nula, entonces la Subsucesión \( (U_n) \) de \( (X_n) \) también lo es.

2. Definamos \( Q: J(\sqrt[]{2})\longrightarrow{}J(\sqrt[]{2}) \)   por  \( Q(m+n\sqrt[ ]{2})=m-n\sqrt[ ]{2} \). Demuestre que \( Q \) es un homomorfismo de anillo bajo la adición y multiplicación habituales de números reales.

Gracias de antemano

[Masacroso]

Para el 1. debes usar la definición de sucesión nula, y la definición de subsucesión. Muestra lo que has intentado o en dónde te has quedado atascado y te echo un cable.

Para el 2. no sé lo que es la notación \( J(\sqrt 2) \), ¿es el anillo definido por \( \Bbb Q+\sqrt 2\Bbb Q \)? En cualquier caso debes mostrar que \( Q \) respeta las operaciones del anillo \( J(\sqrt 2) \), es decir que \( Q(a\cdot b+c)=Q(a)\cdot Q(b)+Q(c) \) para cualesquiera \( a,b,c\in J(\sqrt 2) \). Podrías poner en lo que te has atascado también en este caso, y te echo un cable.

[walyrodriguez]

Para el 1. debes usar la definición de sucesión nula, y la definición de subsucesión. Muestra lo que has intentado o en dónde te has quedado atascado y te echo un cable.

Para el 2. no sé lo que es la notación \( J(\sqrt 2) \), ¿es el anillo definido por \( \Bbb Q+\sqrt 2\Bbb Q \)? En cualquier caso debes mostrar que \( Q \) respeta las operaciones del anillo \( J(\sqrt 2) \), es decir que \( Q(a\cdot b+c)=Q(a)\cdot Q(b)+Q(c) \) para cualesquiera \( a,b,c\in J(\sqrt 2) \). Podrías poner en lo que te has atascado también en este caso, y te echo un cable.

PARA EL 1:

Como \( X_n \) es una sucesión nula se tiene que: \( \forall{\epsilon\geq{0}} \) \( \exists{n'_0} \) \( \in{N} \) \( \forall{n\geq{n'_0}} \) entonces \( \left |{X_n}\right |\leq{\epsilon} \)

Si una subsucesión \( U_n \) de \( X_n \) entonces se tiene que: \( \exists{n_0} \) \( \in{N} \)  \( \forall{n\geq{n_0}} \) entonces \( \left |{U_n}\right |\leq{X_n} \)

Luego se tiene que para todo \( \epsilon\geq{0} \) existe \( n''_0 = max\left\{{n_0,n'_0}\right\} \) tal que para todo \( n\geq{n''_0} \) se cumplen simultáneamente que \( \left |{U_n}\right | \) \( \leq{X_n} \)\( \leq{\epsilon} \)

Por lo que corresponde a la definición misma de que \( (U_n) \) es una subsucesion nula

PARA EL 2:

Sea \( Q(x+y)=Q(x)+Q(y) \)
\( Q((x_1+x_2\sqrt[ ]{2})+(y_1+y_2\sqrt[ ]{2}))=Q((x_1+y_1)+(x_2+y_2)\sqrt[ ]{2})=(x_1+y_1)-(x_2+y_2)\sqrt[ ]{2}=Q(x_1+x_2\sqrt[ ]{2})+Q(y_1+y_2\sqrt[ ]{2})=Q(x)+Q(y) \)

Sea \( Q(xy)=Q(x)Q(y) \)
\( Q((x_1+x_2\sqrt[ ]{2})(y_1+y_2\sqrt[ ]{2}))=Q((2x_2y_2+x_1y_1)+(x_1y_2+x_2y_1)\sqrt[ ]{2})=(2x_2y_2+x_1y_1)-(x_1y_2+x_2y_1)\sqrt[ ]{2}=(x_1-x_2\sqrt[ ]{2})(y_1-y_2\sqrt[ ]{2})=Q(x_1+x_2\sqrt[ ]{2})Q(y_1+y_2\sqrt[ ]{2})=Q(x)Q(y) \)

Utilizo la Q porque no se donde esta el PHI

Gracias por la ayuda que puedan ofrecer

[Luis Fuentes]

Hola

PARA EL 1:

Como \( X_n \) es una sucesión nula se tiene que: \( \forall{\epsilon\geq{0}} \) \( \exists{n'_0} \) \( \in{N} \) \( \forall{n\geq{n'_0}} \) entonces \( \left |{X_n}\right |\leq{\epsilon} \)

Si una subsucesión \( U_n \) de \( X_n \) entonces se tiene que: \( \exists{n_0} \) \( \in{N} \)  \( \forall{n\geq{n_0}} \) entonces \( \left |{U_n}\right |\leq{X_n} \)

Esto no está bien. Realmente no se que quisiste decir. Que \( U_n \) sea subsucesión de \( X_n \) significa que:

\( U_n=X_{f(n)}  \)

donde \( f:\mathbb{N}\to \mathbb{N} \) es una función estrictamente creciente. De ahí se deduce que \( f(n)\geq n \).

Entonces dado \( \epsilon>0  \) existe \( n_0 \) tal que si \( n\geq n_0 \) entonces \( |X_n|<\epsilon \). Pero:

si \( n\geq n_0 \) entonces \( f(n)\geq n\geq n_0 \) y por tanto \( |U_n|=|X_{f(n)}|<\epsilon \)

Saludos.

P.D. La parte del anillo está bien.

P.D.D. [tex]\phi[/tex] y obtienes \( \phi \)

[walyrodriguez]

Hola

PARA EL 1:

Como \( X_n \) es una sucesión nula se tiene que: \( \forall{\epsilon\geq{0}} \) \( \exists{n'_0} \) \( \in{N} \) \( \forall{n\geq{n'_0}} \) entonces \( \left |{X_n}\right |\leq{\epsilon} \)

Si una subsucesión \( U_n \) de \( X_n \) entonces se tiene que: \( \exists{n_0} \) \( \in{N} \)  \( \forall{n\geq{n_0}} \) entonces \( \left |{U_n}\right |\leq{X_n} \)

Esto no está bien. Realmente no se que quisiste decir. Que \( U_n \) sea subsucesión de \( X_n \) significa que:

\( U_n=X_{f(n)}  \)

donde \( f:\mathbb{N}\to \mathbb{N} \) es una función estrictamente creciente. De ahí se deduce que \( f(n)\geq n \).

Entonces dado \( \epsilon>0  \) existe \( n_0 \) tal que si \( n\geq n_0 \) entonces \( |X_n|<\epsilon \). Pero:

si \( n\geq n_0 \) entonces \( f(n)\geq n\geq n_0 \) y por tanto \( |U_n|=|X_{f(n)}|<\epsilon \)

Saludos.

P.D. La parte del anillo está bien.

P.D.D. [tex]\phi[/tex] y obtienes \( \phi \)

Agradezco tu comentario, fue de mucha ayuda