[natydlv]

Hola compañeros! Alguna ayuda con este ejercicio? llegue a un punto donde no puedo continuar

Encontrar los \( z \in{C} \) tal que \( \left |{2z+3}\right |>5 \)

Avances:

\( \left |{2z+3}\right |>5 \)
\( \left |{2(a+bi)+3}\right |>5 \)
\( \left |{2a+2bi+3}\right |>5 \)
\( \left |{(2a+3)+2bi}\right |>5 \)
\( \left |{5a+2bi}\right |>5 \)
\( \left |{2bi+5a}\right |>5 \)
\( \sqrt[ ]{{(5a)}^2+{(2bi)}^2}>5 \)
\( {(5a)}^2+{(2bi)}^2>25 \)

[Masacroso]

Todo bien excepto que tienes un error en la quinta línea, ya que \( 2a+3\neq 5a \). También tienes un error en la expresión del valor absoluto, ya que si \( z=a+bi \) entonces \( |z|=\sqrt{a^2+b^2} \). La unidad imaginaria, la \( i \), no va dentro de la raíz.

Las soluciones, una vez resuelvas eso y simplifiques, van a ser desigualdades que dependen tanto de \( a \) como de \( b \). Yo creo que para este ejercicio debes usar alguna identidad diferente que te hayan enseñado. Por ejemplo, también tenemos la identidad \( |z|^2=z\cdot\bar z \) y la identidad \( \overline{z\cdot w+v}=\bar z\cdot\bar w+\bar v \) para cualesquiera números complejos \( z,w,v\in\Bbb C \), entonces con estas identidades puedes escribir la expresión

\( \displaystyle (2z+3)\overline{(2z+3)}>25\iff (2z+3)(2\bar z+3)>25\iff 4|z|^2+6(z+\bar z)+9>25 \)

y de ahí puedes simplificar más cosas, pero no sé cuánto de números complejos te han enseñado.

De cualquier modo no parece que una forma de proceder sea mucho mejor que la otra.

[natydlv]

entonces sumo el opuesto de 3 a ambos lados de la desigualdad 

y luego multiplicar por el inverso de 2 y asi quedaria \( a+bi > 1 \)

solo he visto lo básico de complejos, suma, multiplicación, modulo...

[Masacroso]

entonces sumo el opuesto de 3 a ambos lados de la desigualdad 

No. Vamos a proceder como tú estabas haciendo. Ibas por \( \left |{(2a+3)+2bi}\right |>5 \), lo que nos lleva a \( (2a+3)^2+(2b)^2>25 \), que nos deja finalmente la desigualdad \( 4a^2+12a-16+4b^2>0 \) (suponiendo no haya cometido algún error tonto de cálculo).

Esta desigualdad se resuelve dejando una(s) desigualdad(es) más simple(s), para lo cual hallamos las raíces de la ecuación \( 4a^2+12a+C=0 \), donde aquí \( C=4b^2-16 \). Las raíces deben ser reales, ya que recordemos que \( a,b\in\Bbb R \), eso nos va a decir los valores, reales (si existen) de \( a \) y de \( b \) para los que \( |2z+3|-5=0 \), y a partir de ahí debemos ver hacia dónde debemos variar los valores de \( a \) y de \( b \) para que se cumpla la desigualdad \( |2z+3|-5>0 \).

No sé si es esto lo que te piden en el ejercicio, pero si es así esto sería un ejercicio más bien de nivel universitario, no sé si ése es el nivel del ejercicio planteado. O eso o ahora en Argentina el nivel de las matemáticas pre-universitarias ha subido muchísimo.


Otra forma de encarar el ejercicio sería usando formas polares para los números complejos.


Otra forma de encararlo también sería relacionar la ecuación \( (2a+3)^2+(2b)^2>25 \) con una elipse en el plano complejo.

[Demagarian]

Hola, perdón el atrevimiento, pero se me ocurrió otra forma que quizá podría servir.

Partiendo de como bien dijo Masacroso y resolviendo algunas cuentas mas:
\( (2a+3)^2 + (2b)^2 > 25 \)
\( 4a^2 + 12a + 4b^2 > 16 \)
\( a^2 + 3a + b^2 >\displaystyle\frac{16}{4} \)
\( (a+3/2)^2 + b^2 > 4+9/4  \)

Obteniendo como resultado final:
\( (a+3/2)^2 + b^2 > (5/2)^2  \)
Lo cual es en todo punto fuera del circulo

Por favor indicar si alguien encuentra un error o si ve que el método no es correcto. Gracias!

[Masacroso]

Hola, perdón el atrevimiento, pero se me ocurrió otra forma que quizá podría servir.

Partiendo de como bien dijo Masacroso y resolviendo algunas cuentas mas:
\( (2a+3)^2 + (2b)^2 > 25 \)
\( 4a^2 + 12a + 4b^2 > 16 \)
\( a^2 + 3a + b^2 >\displaystyle\frac{16}{4} \)
\( (a+3/2)^2 + b^2 > 4+9/4  \)

Obteniendo como resultado final:
\( (a+3/2)^2 + b^2 > (5/2)^2  \)
Lo cual es en todo punto fuera del circulo

Por favor indicar si alguien encuentra un error o si ve que el método no es correcto. Gracias!

Está correcto. Sería todo punto fuera del círculo de radio \( 5/2 \) y centrado en el punto \( z_0=-3/2 \).

[natydlv]

Gracias Demagerian y Masacroso!

Me queda una duda con respecto a la parte gráfica.

en el eje de absisas voy a marcar el -3/2 pero y en el eje de ordenadas?  no lo tengo en cuenta?

[Masacroso]

Gracias Demagerian y Masacroso!

Me queda una duda con respecto a la parte gráfica.

en el eje de absisas voy a marcar el -3/2 pero y en el eje de ordenadas?  no lo tengo en cuenta?

El centro está en el punto -3/2 del plano complejo. El eje de ordenadas representa los complejos puros y -3/2 es un número real, es decir, tiene parte compleja cero, así que el número -3/2 en el plano complejo se halla sobre el eje de abscisas.

Dicho de otro modo: la ecuación del círculo centrado en el punto \( (x_0,y_0) \) del plano cartesiano con radio \( R \) es \( (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 \). En nuestra ecuación tenemos que el punto sobre el que se centra la circunferencia es por tanto el \( (-3/2,0) \), por eso en mi respuesta anterior decía que el círculo, en el plano complejo, estaba centrado sobre el punto -3/2.

Hay una equivalencia entre el plano cartesiano \( \Bbb R^2 \) y el plano complejo \( \Bbb C \), por eso escribimos los números complejos usando dos números reales. Es decir, el punto \( (a,b) \) en \( \Bbb R^2 \) equivale al punto \( a+bi \) en \( \Bbb C \).