Autor Tema: Razonar cuántos puntos críticos de tipo silla puede tener un sistema

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

06 Abril, 2019, 11:37 pm
Leído 962 veces

Unicono

  • Junior
  • Mensajes: 54
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Considera el siguiente sistema en el plano

 \( f(x)=\begin{cases}x'=P(x,y)=y-p(x)\\y'=Q(x,y)=x-q(y)\end{cases} \).

Supongamos que todos los cortes de las curvas \( P(x,y)=0 \) y \( Q(x,y)=0 \) se cortan transversalmente (perpendicularmente, no?), cuál es el número máximo de puntos críticos de tipo silla que puede tener el sistema? Razona por qué se llega a ese número máximo de puntos críticos de tipo silla.

Previamente el problema me pedía ver cuantos puntos críticos podía tener el sistema \( n \) y hacer el retrato de fase cuando \( p(x)=x^2-2,q(y)=y^2-2 \), lo digo por si sirve de algo al afrontar el problema.

07 Abril, 2019, 04:12 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,056
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Considera el siguiente sistema en el plano

 \( f(x)=\begin{cases}x'=P(x,y)=y-p(x)\\y'=Q(x,y)=x-q(y)\end{cases} \).

Supongamos que todos los cortes de las curvas \( P(x,y)=0 \) y \( Q(x,y)=0 \) se cortan transversalmente (perpendicularmente, no?),

 Transversalmente significa que en los puntos de corte, las curvas no son tangente. Se cortan con orden uno.

Saludos.

17 Marzo, 2020, 02:10 pm
Respuesta #2

Arturo Gómez

  • Aprendiz
  • Mensajes: 381
  • País: br
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Las curvas \(  y^\prime = 0, x^\prime=0 \)  son gráficos de funciones polinomiales. \( y=p(x), x=q(y) \), y los puntos críticos son la intersección de las curvas \( p(x)=0 \) e \( q(y)=0 \)

Para entender la dinâmica en estas singularidades opino que conviene antes de ver lo que sucede en el ejemplo, pensar en el caso más simple de que los polinômios son de primer grado (dos rectas que se cortan), luego en una recta y una parábola y lo siguiente sería el ejemplo. A partir del ejemplo sugerido en el problema tenemos clara la forma de generalizar.