[R_Gauss]

Buen día.

Estoy realizando un ejercicio sobre operación ternaria que dice así:

Sea \( B \) un conjunto (no vacío). Una operación ternaria en \( B \) es una función \( B\times{B}\times{B} \longrightarrow{B} \).

Una operación ternaria \( *:B\times{B}\times{B}\longrightarrow{B} \) es inducido por la izquierda por una operación binaria:

\(  \circ{}: B\times{B}\longrightarrow{B} \)

Si \( *((a,b,c))=(a\circ{}b)\circ{}c \) para todo \( a,b,c\in{B} \)

La pregunta es: ¿Todas las operaciones ternarias en un conjunto son inducidas por la izquierda por una operación binaria? Probar o dar un contrajemplo.

¿Es verdadero o falso respecto a la pregunta anterior?

Yo creo que es falso, pero no he encontrado un contraejemplo.

Agradezco sus colaboraciones,

Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( B \) un conjunto (no vacío). Una operación ternaria en \( B \) es una función \( B\times{B}\times{B} \longrightarrow{B} \).

Una operación ternaria \( *:B\times{B}\times{B}\longrightarrow{B} \) es inducido por la izquierda por una operación binaria:

\(  \circ{}: B\times{B}\longrightarrow{B} \)

Si \( *((a,b,c))=(a\circ{}b)\circ{}c \) para todo \( a,b,c\in{B} \)

La pregunta es: ¿Todas las operaciones ternarias en un conjunto son inducidas por la izquierda por una operación binaria? Probar o dar un contrajemplo.

¿Es verdadero o falso respecto a la pregunta anterior?

Yo creo que es falso, pero no he encontrado un contraejemplo.

Toma \( B=\{0,1\} \) y la operación \( *(a,b,c)=b \).

Saludos.

[R_Gauss]

Hola Luis,

Asumo que es falso.
Sin embargo, no me queda del todo claro el contraejemplo.

¿Es necesario tomar/definir  una operación binaria para \( \circ{}:B\times{B}\longrightarrow{B} \)?

Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

Asumo que es falso.
Sin embargo, no me queda del todo claro el contraejemplo.

¿Es necesario tomar/definir  una operación binaria para \( \circ{}:B\times{B}\longrightarrow{B} \)?

Tienes que trabajar el ejemplo. Tienes que demostrar que es imposible definir operación binaria alguna que cumpla:

\( (a\circ b)\circ c=b \) para todos \( a,b,c\in B \).

Para ello ten en cuenta que:

1)\( (a\circ 0)\neq (a\circ 1) \) para todo \( a \), ya que al ser operado con cualquier \( c \) en un caso debe de dar \( 0 \) y en el otro \( 1 \)-

2) Pero entonces \( b=(a\circ b)\circ 0\neq (a\circ b)\circ 1=b \). Contradicción.

Saludos.