[megasaw]

Buenas, tengo este ejercicio el cual intenté resolver pero no me salió, volví a lo mismo del inicio, dice así:

Halle el vector \(  \vec{A}   \) cuyo módulo \(  \left\|{A}\right\|   \) es igual a \(  \sqrt{3}  \) , que se encuentra en el plano formado por los vectores: \(  \vec{B} = (1,1,-1)  \) y \(  \vec{C} = (1,-1,1)  \) si se sabe que el vector \(  \vec{A}  \) es ortogonal a \(  \vec{D} = (1,1,0)  \)

Sé que el producto punto de \(  \vec{A}  \) y \(  \vec{D}  \) es igual a 0 por ser ortogonales, y asumiendo que el vector \(  \vec{A}  \) se compone así: \(  (a_1,a_2,a_3)  \) al resolver el producto punto se tiene que \(  a_1 = -a_2  \) y que además el plano de \(  \vec{B}  \) y \(  \vec{C} \) se obtiene aplicando producto cruz lo que me da \(  (0,-2,-2)  \). Lo que pensé fue aplicar producto cruz a este plano junto con el vector \(  \vec{D}  \), a fin de cuenta son ortogonales, sin embargo no llego a nada sigo teniendo variables, pueden ayudarme en esto?

[delmar]

Hola

Tu razonamiento lo veo correcto respecto a que \( \vec{A}\cdot{\vec{D}}=0\Rightarrow{a_1=-a_2} \) Ec. 1. Luego todo vector del plano determinado por \( \vec{B} \) y \( \vec{C} \) es ortogonal a \( \vec{B} \ X \ \vec{C}\Rightarrow{\vec{A}\cdot{(\vec{B} \ X \ \vec{C})}=0} \) Ec. 2 y finalmente \(  \left\|{\vec{A}}\right\|=\sqrt[ ]{3} \) Ec. 3

Las Ec. 1,2 y 3 permiten hallar \( \vec{A} \), haz el intento.


Saludos

[megasaw]

Hola

Tu razonamiento lo veo correcto respecto a que \( \vec{A}\cdot{\vec{D}}=0\Rightarrow{a_1=-a_2} \) Ec. 1. Luego todo vector del plano determinado por \( \vec{B} \) y \( \vec{C} \) es ortogonal a \( \vec{B} \ X \ \vec{C}\Rightarrow{\vec{A}\cdot{(\vec{B} \ X \ \vec{C})}=0} \) Ec. 2 y finalmente \(  \left\|{\vec{A}}\right\|=\sqrt[ ]{3} \) Ec. 3

Las Ec. 1,2 y 3 permiten hallar \( \vec{A} \), haz el intento.


Saludos

Disculpa no me ha quedado claro esta parte, podrías explicarmela mejor por favor?
Luego todo vector del plano determinado por \( \vec{B} \) y \( \vec{C} \) es ortogonal a \( \vec{B} \ X \ \vec{C}\Rightarrow{\vec{A}\cdot{(\vec{B} \ X \ \vec{C})}=0} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Disculpa no me ha quedado claro esta parte, podrías explicarmela mejor por favor?
Luego todo vector del plano determinado por \( \vec{B} \) y \( \vec{C} \) es ortogonal a \( \vec{B} \ X \ \vec{C}\Rightarrow{\vec{A}\cdot{(\vec{B} \ X \ \vec{C})}=0} \)

Te está diciendo que el producto vectorial \( \vec{B}\times \vec{C} \) es un vector perpendicular al plano que generan \( \vec{B} \) y \( \vec{C} \); por tanto es perpendicular a todo vector de ese plano.

En particular si queremos que \( \vec{A} \) esté en tal plano, será perpendicular a \( \vec{B}\times \vec{C} \) y por eso:

\( \vec A\cdot (\vec{B}\times \vec{C}) \)

Saludos.

[megasaw]

Hola

Disculpa no me ha quedado claro esta parte, podrías explicarmela mejor por favor?
Luego todo vector del plano determinado por \( \vec{B} \) y \( \vec{C} \) es ortogonal a \( \vec{B} \ X \ \vec{C}\Rightarrow{\vec{A}\cdot{(\vec{B} \ X \ \vec{C})}=0} \)

Te está diciendo que el producto vectorial \( \vec{B}\times \vec{C} \) es un vector perpendicular al plano que generan \( \vec{B} \) y \( \vec{C} \); por tanto es perpendicular a todo vector de ese plano.

En particular si queremos que \( \vec{A} \) esté en tal plano, será perpendicular a \( \vec{B}\times \vec{C} \) y por eso:

\( \vec A\cdot (\vec{B}\times \vec{C}) \)

Saludos.

Entonces todo vector que se encuentre en el plano formado por los dos vectores necesariamente será perpendicular a dicho plano?

[delmar]

Entonces todo vector que se encuentre en el plano formado por los dos vectores necesariamente será perpendicular a dicho plano?

NO. ¿Como es posible que un vector contenido por un plano, sea normal al plano que lo contiene? El ángulo entre un vector contenido por un plano y el plano, es cero. Lo que dice Luis Fuentes es que un vector que se encuentre en el plano formado por los dos vectores, necesariamente será perpendicular, a todo vector normal a dicho plano, en consecuencia será normal a \( \vec{B} \ X \ \vec{C} \)

Saludos

[megasaw]

Entonces todo vector que se encuentre en el plano formado por los dos vectores necesariamente será perpendicular a dicho plano?

NO. ¿Como es posible que un vector contenido por un plano, sea normal al plano que lo contiene? El ángulo entre un vector contenido por un plano y el plano, es cero. Lo que dice Luis Fuentes es que un vector que se encuentre en el plano formado por los dos vectores, necesariamente será perpendicular, a todo vector normal a dicho plano, en consecuencia será normal a \( \vec{B} \ X \ \vec{C} \)

Saludos

Ah vale, el producto cruz siempre genera un vector perpendicular a dicho plano \( \vec{B} \ X \ \vec{C} \)
y el vector \(  \vec{A}  \) será un vector normal al plano en sí, lo que no me queda claro es por qué usa el producto punto.

Aunque he resuelto como me ha indicado, y he obtenido que \(  a_2 = \sqrt{1}  \) si tomo el valor positivo obtengo que \(  \vec{A} = (-1,1,-1)  \) que cumple con las condiciones del problema, pero si tomo el negativo el resultado es el mismo vector \(  \vec{C}  \) por lo que tendría que descartarlo. Espero puedan aclararme esa última duda y muchas gracias por su ayuda.