[natydlv]

Hola compañeros. Llevo todo el día con este ejercicio... alguna ayuda?

Encontrar la ecuación con centro en el origen tal que su distancia focal es \( 4 \) y la suma de las distancias de un punto cualquiera a los focos es \( 8 \)

\( q(m;n) \) es mi punto cualquiera

\( F_1=(-2;0) \)
\( F_2=(2;0) \)

\( c =\displaystyle\frac{4}{2}  \)

\( d(q,F_1)+d(q,F_2)=8 \)

\( \sqrt[ ]{{(m+2)}^2+{(n-0)}^2}+\sqrt[ ]{{(m-2)}^2+{(n-0)}^2}=8 \)

[delmar]

Hola

Lo que has hecho es correcto. Luego hay que ponerla de esta forma : \( \sqrt[ ]{(m+2)^2+n^2}=8-\sqrt[ ]{(m-2)^2+n^2} \) elevar al cuadrado ambos miembros y luego despejar la raíz y elevarla nuevamente al cuadrado, simplificar  y poner  la ecuación en la forma canónica de la elipse.

Saludos

[natydlv]

pero si elevo al cuadrado una segunda ves a la derecha de la igualdad me va a quedar cuatro términos elevado al cuadrado... \( {(k - h + v + p)}^2 \) no entiendo como resolver eso... solo he trabajado binomio al cuadrado \( {(k + h)}^2 \)

[delmar]

Veamos, elevando al cuadrado se llega a  : \( (m+2)^2+n^2=64-16\sqrt[ ]{(m-2)^2+n^2}+(m-2)^2+n^2 \)

En este punto hay que simplificar, dejando únicamente la raíz en el lado derecho :

\( ((m+2)^2-(m-2)^2)-64=-16\sqrt[ ]{(m-2)^2+n^2} \)

Utilizando diferencia de cuadrados :

\( ((m+2)+(m-2)) \ ((m+2)-(m-2))-64=-16\sqrt[ ]{(m-2)^2+n^2} \)

Operando se transforma en :

\( (2m)(4)-64=-16\sqrt[ ]{(m-2)^2+n^2}\Rightarrow{m-8=-2\sqrt[ ]{(m-2)^2+n^2}} \)

Hay que volver a elevar al cuadrado, reducir términos y poner en la forma canónica de la elipse.

Saludos

[natydlv]

Gracias Delmar, siguiendo tu razonamiento llegue llegue a esta expresión: \( m^2-4n^2-20m-72=0 \) tiene sentido? 

[delmar]

Hay algún error, en las operaciones. Muestro un avance del desarrollo, al elevar al cuadrado, se tiene :

\( (m-8)^2=4((m-2)^2+n^2)\Rightarrow{m^2-16m+64=4(m^2-4m+4+n^2)} \)

Ahora solamente hay que hacer  las operaciones, con paciencia y reducir términos.

Saludos

[natydlv]

Creo que ahora si lo calcule bien: \( 3m^2+4n^2-48 \)

pero sigo sin verle el sentido a hacer todo esto. Se supone que yo quiero llegar a un \( a \) y \( b \) para poder armar la ecuación que tiene esta forma \( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1 \)

[delmar]

Has llegado a la expresión correcta : \( 3m^2+4n^2-48=0\Rightarrow{3m^2+4n^2=48}\Rightarrow{\displaystyle\frac{m^2}{16}}+\displaystyle\frac{n^2}{12}=1 \), tanto 16 como 12 se pueden poner como los cuadrados de sus raíces cuadradas. Esto es cuestión de paciencia y práctica.

Saludos

[natydlv]

  no comprendo...

como es que el 48 pasa a ser 1? y como el 3 y 4 pasan a ser 16 y 12?

[manooooh]

Hola natydlv! ¿Cómo estás?

no comprendo...

No te impacientes, ante estos casos hay que ser muy pacientes porque sino todo se oscurece en vez de esclarecerse. Ya sabés, cualquier mínimo detalle que no entiendas no dudes en preguntarlo.

como es que el 48 pasa a ser 1? y como el 3 y 4 pasan a ser 16 y 12?

¿Entendiste cómo se llega a \( 3m^2+4n^2-48=0 \)? Voy a suponer que sí.

Pasando el \( 48 \) al otro lado: \( 3m^2+4n^2=48 \). Ahora dividamos todo por \( 48 \):

\( \displaystyle\color{red}\frac{\color{black}3}{48}\color{black}m^2+\color{red}\frac{\color{black}4}{48}\color{black}n^2=\color{red}\frac{\color{black}48}{48}\color{black} \)   entonces   \( \displaystyle\frac1{16}m^2+\frac1{12}n^2=1 \)   entonces   \( \displaystyle\frac{m^2}{16}+\frac{n^2}{12}=1, \)

que es lo mismo a lo que llegó delmar.

Saludos

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