Hola Saucedo.
Pregunta 1:Supongamos que \( A\neq\emptyset \) está acotado inferiormente. Designemos por \( -A \) el conjunto de todos los \( -x \) con \( x \) en \( A \). Demostrar que \( -A \) está acotado superiormente y que \( -sup(-A) \) es la cota inferior máxima de \( A \).
Yo haría lo siguiente. Como \( \emptyset\neq A\subset\mathbb{R} \) es acotado inferiormente, por axioma sabemos que posee un ínfimo. Sea \( L \) el ínfimo de \( A \). Se sigue que,
\( \Big(\forall x\in A\Big)\quad L\leq x \)
\( \Leftrightarrow\qquad \Big(\forall x\in A\Big)\quad -x\leq -L \)
\( \Leftrightarrow\qquad \Big(\forall x\in -A\Big)\quad x\leq -L \)
por lo que \( -L \) es una cota superior del conjunto \( -A \), lo que por axioma implica que \( -A \) tiene supremo. Para probar que \( -L \) es el supremo de \( -A \), puedes proceder por reducción al absurdo: supones que no es el supremo, por lo que \( -L-\epsilon \) sería el supremo de \( -A \) para algún \( \epsilon>0 \), y trata de proceder como antes para llegar a que \( L \) no sería el ínfimo de \( A \), lo que es una contradicción.
Pregunta 2:Demuestra que si \( C\subset{S} \) y \( f \) es uniformemente continua sobre \( S \), entonces \( f \) es uniformemente continua sobre \( C \).
Como no tengo esta materia fresca, es mejor que otro compañero del foro te guíe.
- Para próximos mensajes coloca cada pregunta en un hilo distinto. Esto permite responder más claro.
- Esta vez corregí tus mensajes para que las fórmulas se vean correctamente (faltaba encerrarlas entre [tex] y [/tex]).
