[mvm]

Hola Buenas, en este problema no entiendo como aplicar la función de densidad, el problema dice lo siguiente :

La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias continuas es :

\( f(x,y)=k(x+xy)\textrm{ si } (x,y)\in{(0,1)^2} \)
\( 0\textrm{ en otro caso} \)

a) Determinar \( k \)
b) Encontrar las funciones de densidad marginales
c) ¿Son independientes?

Muchísimas gracias.
Saludos.

[cormonse]

a)
Para que una funcion f(x,y) sea de densidad debe verificar lo siguiente:

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y) dxdy=1 \)

En tu caso sería:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1}k(x+xy) dxdy=1 \)

Haz la integración y verás que k debe ser igual a 4/3.
b)
Las funciones de densidad marginales se calculan de la siguiente manera:

\( f_1(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y) dy \)

\( f_2(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y) dx \)

c)

Dos v.a. son independientes si se verifica que:

\( f(x,y)=f_1(x)\cdot{f_2(y)} \)