[mvm]

Hola Buenas tardes, este problema no entiendo como se hace, una ayuda por favor??

"La variable \( X \) representa la proporción de errores tipo A en ciertos documentos y la variable \( Y \) la proporción de errores de tipo B. Se verifica que \( X+Y\leq{1} \)(es decir puede haber más tipos de errores posibles) y la densidad conjunta de ambas variables es

\( f(x,y)= k \textrm{ si }0\leq{x}\leq{1};0\leq{y}\leq{1};x+y\leq{1} \)
\( 0 \textrm{ en el resto de los casos} \)

a) Calcular el valor de la constante \( k \)
b) Calcular la densidad condicional de \( X \) a \( Y=y_0 \) con \( 0<y_0<1 \)

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 a) Para hallar \( k \) ten en cuenta que la integral de la función de densidad en todo su recinto de definición debe de ser \( 1 \). En tu caso el recinto viene determinado por las ecuaciones:

\( 0\leq x\leq 1, \qquad 0\leq y\leq 1,\qquad x+y\leq 1 \)

 Dibújalas y comprueba que se refieren al triángulo de vértices \( (0,0),(1,0) \) y \( (0,1) \).

 Así tendrá que cumplirse que:

 \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1-x}kdydx=1 \)

 (en realidad como integras una constante, la integral ya sabes que es el área del recinto por la constante).

 2) Tienes que:

 \( f(x|Y=y_0)=\displaystyle\frac{f(x,y_0)}{f_Y(y_0)} \)

 Donde:

 \( f_Y(y_0)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y_0)dx \)

Saludos.