Hola bienvenido al foro.
Recuerda escribir las fórmulas en \( LaTeX \)
Buenas tardes, lo que pasa es que me encuentro haciendo un trabajo sobre números de Liouville y en el proceso me encontré con una demostración en la que se usa una desigualdad y no he sido capaz de entenderla ¿alguien me puede guiar en la demostración de esta desigualdad por favor ?
\( \displaystyle\sum_{k=n+1}^\infty\dfrac{b-1}{b^{k!}}<\sum_{k=(n+1)!}^\infty\dfrac{b-1}{b^k} \)
P.D. Imagen reescrita por un moderador.
Esta demostración no es complicada , si un poco engorrosa por las exponenciales.
La idea es que si comparamos los términos de los 2 sumatorios uno a uno por orden , tenemos que menos el primer término de los dos sumatorios que coincide el resto siempre es mayor el término de la derecha en la desigualdad.
el primero para \( k=n+1 \) y \( k=(n+1)! \)
\( \dfrac{b-1}{b^{(n+1)!}}=\dfrac{b-1}{b^{(n+1)!}} \)
Para el término de orden \( i+1 \) sera:
\(
k=n+1+i \Rightarrow{}a_{i+1}=\dfrac{b-1}{b^{(n+1+i)!}} \) y para \(
k=(n+1)!+i \Rightarrow{}b_{i+1}=\dfrac{b-1}{b^{(n+1)!+i}} \)
Se comprueba facilmente que \( \displaystyle\frac{b_{i+1}}{a_{i+1}}>1\,\forall{i}>0 \) , si \( b>1 \)
Saludos.
